Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76234 / 59946
↖ ↑ ↗
← N 15.172879°
E 29.382934°		 ← 294.78 m → N 15.172879°
E 29.385681°		 →
↑
294.72 m
↓
↑
294.72 m
↓
N 15.170229°
E 29.382934°		 ← 294.78 m →
86 878 m²		 N 15.170229°
E 29.385681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581623077392578 y=0.457355499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581623077392578 × 217)
    floor (0.581623077392578 × 131072)
    floor (76234.5)     		tx = 76234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457355499267578 × 217)
    floor (0.457355499267578 × 131072)
    floor (59946.5)     		ty = 59946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76234 / 59946 ti = "17/76234/59946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76234/59946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76234 ÷ 217
    76234 ÷ 131072     		x = 0.581619262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59946 ÷ 217
    59946 ÷ 131072     		y = 0.457351684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581619262695312 × 2 - 1) × π
    0.163238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51282895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457351684570312 × 2 - 1) × π
    0.085296630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.267967268876114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51282895} λ = 0.51282895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267967268876114))-π/2
    2×atan(1.30730434977402)-π/2
    2×0.917806514113458-π/2
    1.83561302822692-1.57079632675     		φ = 0.26481670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51282895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.382934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26481670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.172879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76234 KachelY 59946 0.51282895 0.26481670 29.382934 15.172879
    Oben rechts KachelX + 1 76235 KachelY 59946 0.51287689 0.26481670 29.385681 15.172879
    Unten links KachelX 76234 KachelY + 1 59947 0.51282895 0.26477044 29.382934 15.170229
    Unten rechts KachelX + 1 76235 KachelY + 1 59947 0.51287689 0.26477044 29.385681 15.170229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26481670-0.26477044) × R
    4.62600000000202e-05 × 6371000     		dl = 294.722460000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26481670-0.26477044) × R
    4.62600000000202e-05 × 6371000     		dr = 294.722460000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51282895-0.51287689) × cos(0.26481670) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965140492636895 × 6371000     		do = 294.778749168078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51282895-0.51287689) × cos(0.26477044) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.965152599343276 × 6371000     		du = 294.782446867833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26481670)-sin(0.26477044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965140492636895-0.965152599343276)×R²
    abs(0.51287689-0.51282895)×1.21067063810765e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.21067063810765e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.21067063810765e-05×40589641000000     		ar = 86878.4630236141m²