Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76234 / 59911
↖ ↑ ↗
← N 15.265638°
E 29.382934°		 ← 294.65 m → N 15.265638°
E 29.385681°		 →
↑
294.66 m
↓
↑
294.66 m
↓
N 15.262988°
E 29.382934°		 ← 294.65 m →
86 821 m²		 N 15.262988°
E 29.385681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581623077392578 y=0.457088470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581623077392578 × 217)
    floor (0.581623077392578 × 131072)
    floor (76234.5)     		tx = 76234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457088470458984 × 217)
    floor (0.457088470458984 × 131072)
    floor (59911.5)     		ty = 59911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76234 / 59911 ti = "17/76234/59911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76234/59911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76234 ÷ 217
    76234 ÷ 131072     		x = 0.581619262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59911 ÷ 217
    59911 ÷ 131072     		y = 0.457084655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581619262695312 × 2 - 1) × π
    0.163238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51282895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457084655761719 × 2 - 1) × π
    0.0858306884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.269645060362816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51282895} λ = 0.51282895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269645060362816))-π/2
    2×atan(1.30949957493268)-π/2
    2×0.918615988264287-π/2
    1.83723197652857-1.57079632675     		φ = 0.26643565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51282895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.382934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26643565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.265638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76234 KachelY 59911 0.51282895 0.26643565 29.382934 15.265638
    Oben rechts KachelX + 1 76235 KachelY 59911 0.51287689 0.26643565 29.385681 15.265638
    Unten links KachelX 76234 KachelY + 1 59912 0.51282895 0.26638940 29.382934 15.262988
    Unten rechts KachelX + 1 76235 KachelY + 1 59912 0.51287689 0.26638940 29.385681 15.262988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26643565-0.26638940) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dl = 294.658750000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26643565-0.26638940) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dr = 294.658750000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51282895-0.51287689) × cos(0.26643565) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.964715496398151 × 6371000     		do = 294.648944377362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51282895-0.51287689) × cos(0.26638940) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.964727672738496 × 6371000     		du = 294.652663345122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26643565)-sin(0.26638940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964715496398151-0.964727672738496)×R²
    abs(0.51287689-0.51282895)×1.21763403448938e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.21763403448938e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.21763403448938e-05×40589641000000     		ar = 86821.4375678073m²