Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76233 / 59914
↖ ↑ ↗
← N 15.257689°
E 29.380188°		 ← 294.60 m → N 15.257689°
E 29.382934°		 →
↑
294.66 m
↓
↑
294.66 m
↓
N 15.255039°
E 29.380188°		 ← 294.60 m →
86 807 m²		 N 15.255039°
E 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581615447998047 y=0.457111358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581615447998047 × 217)
    floor (0.581615447998047 × 131072)
    floor (76233.5)     		tx = 76233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457111358642578 × 217)
    floor (0.457111358642578 × 131072)
    floor (59914.5)     		ty = 59914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76233 / 59914 ti = "17/76233/59914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76233/59914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76233 ÷ 217
    76233 ÷ 131072     		x = 0.581611633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59914 ÷ 217
    59914 ÷ 131072     		y = 0.457107543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581611633300781 × 2 - 1) × π
    0.163223266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51278102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457107543945312 × 2 - 1) × π
    0.085784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269501249663956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51278102} λ = 0.51278102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269501249663956))-π/2
    2×atan(1.30931126842423)-π/2
    2×0.91854661874632-π/2
    1.83709323749264-1.57079632675     		φ = 0.26629691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51278102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.380188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26629691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.257689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76233 KachelY 59914 0.51278102 0.26629691 29.380188 15.257689
    Oben rechts KachelX + 1 76234 KachelY 59914 0.51282895 0.26629691 29.382934 15.257689
    Unten links KachelX 76233 KachelY + 1 59915 0.51278102 0.26625066 29.380188 15.255039
    Unten rechts KachelX + 1 76234 KachelY + 1 59915 0.51282895 0.26625066 29.382934 15.255039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26629691-0.26625066) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dl = 294.658750000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26629691-0.26625066) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dr = 294.658750000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(0.26629691) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.964752016596714 × 6371000     		do = 294.598634234064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(0.26625066) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.964764186746589 × 6371000     		du = 294.602350535735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26629691)-sin(0.26625066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964752016596714-0.964764186746589)×R²
    abs(0.51282895-0.51278102)×1.21701498746463e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.21701498746463e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.21701498746463e-05×40589641000000     		ar = 86806.6128510318m²