Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76233 / 58709
↖ ↑ ↗
← N 18.424896°
E 29.380188°		 ← 289.71 m → N 18.424896°
E 29.382934°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
N 18.422290°
E 29.380188°		 ← 289.71 m →
83 945 m²		 N 18.422290°
E 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581615447998047 y=0.447917938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581615447998047 × 217)
    floor (0.581615447998047 × 131072)
    floor (76233.5)     		tx = 76233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447917938232422 × 217)
    floor (0.447917938232422 × 131072)
    floor (58709.5)     		ty = 58709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76233 / 58709 ti = "17/76233/58709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76233/58709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76233 ÷ 217
    76233 ÷ 131072     		x = 0.581611633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58709 ÷ 217
    58709 ÷ 131072     		y = 0.447914123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581611633300781 × 2 - 1) × π
    0.163223266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51278102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447914123535156 × 2 - 1) × π
    0.104171752929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.327265213706123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51278102} λ = 0.51278102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327265213706123))-π/2
    2×atan(1.38716932471667)-π/2
    2×0.946185714931912-π/2
    1.89237142986382-1.57079632675     		φ = 0.32157510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51278102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.380188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32157510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.424896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76233 KachelY 58709 0.51278102 0.32157510 29.380188 18.424896
    Oben rechts KachelX + 1 76234 KachelY 58709 0.51282895 0.32157510 29.382934 18.424896
    Unten links KachelX 76233 KachelY + 1 58710 0.51278102 0.32152962 29.380188 18.422290
    Unten rechts KachelX + 1 76234 KachelY + 1 58710 0.51282895 0.32152962 29.382934 18.422290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32157510-0.32152962) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32157510-0.32152962) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(0.32157510) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.948738766999867 × 6371000     		do = 289.708795830283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(0.32152962) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.948753140487064 × 6371000     		du = 289.713184947511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32157510)-sin(0.32152962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948738766999867-0.948753140487064)×R²
    abs(0.51282895-0.51278102)×1.43734871962398e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.43734871962398e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.43734871962398e-05×40589641000000     		ar = 83944.6517894725m²