Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76233 / 58515
↖ ↑ ↗
← N 18.929671°
E 29.380188°		 ← 288.85 m → N 18.929671°
E 29.382934°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.927072°
E 29.380188°		 ← 288.85 m →
83 456 m²		 N 18.927072°
E 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581615447998047 y=0.446437835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581615447998047 × 217)
    floor (0.581615447998047 × 131072)
    floor (76233.5)     		tx = 76233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446437835693359 × 217)
    floor (0.446437835693359 × 131072)
    floor (58515.5)     		ty = 58515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76233 / 58515 ti = "17/76233/58515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76233/58515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76233 ÷ 217
    76233 ÷ 131072     		x = 0.581611633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58515 ÷ 217
    58515 ÷ 131072     		y = 0.446434020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581611633300781 × 2 - 1) × π
    0.163223266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51278102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446434020996094 × 2 - 1) × π
    0.107131958007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.336564972232414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51278102} λ = 0.51278102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336564972232414))-π/2
    2×atan(1.40012983587579)-π/2
    2×0.950590701590158-π/2
    1.90118140318032-1.57079632675     		φ = 0.33038508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51278102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.380188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33038508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.929671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76233 KachelY 58515 0.51278102 0.33038508 29.380188 18.929671
    Oben rechts KachelX + 1 76234 KachelY 58515 0.51282895 0.33038508 29.382934 18.929671
    Unten links KachelX 76233 KachelY + 1 58516 0.51278102 0.33033973 29.380188 18.927072
    Unten rechts KachelX + 1 76234 KachelY + 1 58516 0.51282895 0.33033973 29.382934 18.927072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33038508-0.33033973) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33038508-0.33033973) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(0.33038508) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.945917490899393 × 6371000     		do = 288.847285233053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(0.33033973) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.945932201798033 × 6371000     		du = 288.851777382925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33038508)-sin(0.33033973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945917490899393-0.945932201798033)×R²
    abs(0.51282895-0.51278102)×1.47108986401356e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.47108986401356e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.47108986401356e-05×40589641000000     		ar = 83455.8075200585m²