Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76233 / 58410
↖ ↑ ↗
← N 19.202241°
E 29.380188°		 ← 288.37 m → N 19.202241°
E 29.382934°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 19.199647°
E 29.380188°		 ← 288.38 m →
83 172 m²		 N 19.199647°
E 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581615447998047 y=0.445636749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581615447998047 × 217)
    floor (0.581615447998047 × 131072)
    floor (76233.5)     		tx = 76233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445636749267578 × 217)
    floor (0.445636749267578 × 131072)
    floor (58410.5)     		ty = 58410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76233 / 58410 ti = "17/76233/58410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76233/58410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76233 ÷ 217
    76233 ÷ 131072     		x = 0.581611633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58410 ÷ 217
    58410 ÷ 131072     		y = 0.445632934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581611633300781 × 2 - 1) × π
    0.163223266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51278102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445632934570312 × 2 - 1) × π
    0.108734130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.34159834669252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51278102} λ = 0.51278102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34159834669252))-π/2
    2×atan(1.407194979473)-π/2
    2×0.952969328565123-π/2
    1.90593865713025-1.57079632675     		φ = 0.33514233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51278102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.380188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33514233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.202241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76233 KachelY 58410 0.51278102 0.33514233 29.380188 19.202241
    Oben rechts KachelX + 1 76234 KachelY 58410 0.51282895 0.33514233 29.382934 19.202241
    Unten links KachelX 76233 KachelY + 1 58411 0.51278102 0.33509706 29.380188 19.199647
    Unten rechts KachelX + 1 76234 KachelY + 1 58411 0.51282895 0.33509706 29.382934 19.199647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33514233-0.33509706) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dl = 288.415169999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33514233-0.33509706) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dr = 288.415169999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(0.33514233) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.944363506351002 × 6371000     		do = 288.372757356768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51278102-0.51282895) × cos(0.33509706) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.944378394848589 × 6371000     		du = 288.377303738615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33514233)-sin(0.33509706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944363506351002-0.944378394848589)×R²
    abs(0.51282895-0.51278102)×1.48884975870178e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.48884975870178e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.48884975870178e-05×40589641000000     		ar = 83171.7334733307m²