Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76232 / 59913
↖ ↑ ↗
← N 15.260339°
E 29.377442°		 ← 294.66 m → N 15.260339°
E 29.380188°		 →
↑
294.66 m
↓
↑
294.66 m
↓
N 15.257689°
E 29.377442°		 ← 294.66 m →
86 824 m²		 N 15.257689°
E 29.380188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581607818603516 y=0.457103729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581607818603516 × 217)
    floor (0.581607818603516 × 131072)
    floor (76232.5)     		tx = 76232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457103729248047 × 217)
    floor (0.457103729248047 × 131072)
    floor (59913.5)     		ty = 59913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76232 / 59913 ti = "17/76232/59913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76232/59913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76232 ÷ 217
    76232 ÷ 131072     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59913 ÷ 217
    59913 ÷ 131072     		y = 0.457099914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457099914550781 × 2 - 1) × π
    0.0858001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269549186563576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269549186563576))-π/2
    2×atan(1.30937403425146)-π/2
    2×0.918569742210744-π/2
    1.83713948442149-1.57079632675     		φ = 0.26634316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26634316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.260339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76232 KachelY 59913 0.51273308 0.26634316 29.377442 15.260339
    Oben rechts KachelX + 1 76233 KachelY 59913 0.51278102 0.26634316 29.380188 15.260339
    Unten links KachelX 76232 KachelY + 1 59914 0.51273308 0.26629691 29.377442 15.257689
    Unten rechts KachelX + 1 76233 KachelY + 1 59914 0.51278102 0.26629691 29.380188 15.257689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26634316-0.26629691) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dl = 294.658750000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26634316-0.26629691) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dr = 294.658750000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51278102) × cos(0.26634316) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.964739844383175 × 6371000     		do = 294.656380878705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51278102) × cos(0.26629691) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.964752016596714 × 6371000     		du = 294.660098586033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26634316)-sin(0.26629691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964739844383175-0.964752016596714)×R²
    abs(0.51278102-0.51273308)×1.21722135394409e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.21722135394409e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.21722135394409e-05×40589641000000     		ar = 86823.6286122496m²