Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76232 / 59801
↖ ↑ ↗
← N 15.556898°
E 29.377442°		 ← 294.24 m → N 15.556898°
E 29.380188°		 →
↑
294.21 m
↓
↑
294.21 m
↓
N 15.554253°
E 29.377442°		 ← 294.24 m →
86 569 m²		 N 15.554253°
E 29.380188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581607818603516 y=0.456249237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581607818603516 × 217)
    floor (0.581607818603516 × 131072)
    floor (76232.5)     		tx = 76232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456249237060547 × 217)
    floor (0.456249237060547 × 131072)
    floor (59801.5)     		ty = 59801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76232 / 59801 ti = "17/76232/59801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76232/59801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76232 ÷ 217
    76232 ÷ 131072     		x = 0.58160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59801 ÷ 217
    59801 ÷ 131072     		y = 0.456245422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58160400390625 × 2 - 1) × π
    0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456245422363281 × 2 - 1) × π
    0.0875091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.274918119321022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51273308} λ = 0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.274918119321022))-π/2
    2×atan(1.31642288085525)-π/2
    2×0.921157713318589-π/2
    1.84231542663718-1.57079632675     		φ = 0.27151910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27151910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.556898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76232 KachelY 59801 0.51273308 0.27151910 29.377442 15.556898
    Oben rechts KachelX + 1 76233 KachelY 59801 0.51278102 0.27151910 29.380188 15.556898
    Unten links KachelX 76232 KachelY + 1 59802 0.51273308 0.27147292 29.377442 15.554253
    Unten rechts KachelX + 1 76233 KachelY + 1 59802 0.51278102 0.27147292 29.380188 15.554253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27151910-0.27147292) × R
    4.61800000000068e-05 × 6371000     		dl = 294.212780000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27151910-0.27147292) × R
    4.61800000000068e-05 × 6371000     		dr = 294.212780000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51273308-0.51278102) × cos(0.27151910) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.96336459276638 × 6371000     		do = 294.236343635959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51273308-0.51278102) × cos(0.27147292) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.963376976993144 × 6371000     		du = 294.240126097583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27151910)-sin(0.27147292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96336459276638-0.963376976993144)×R²
    abs(0.51278102-0.51273308)×1.23842267639729e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.23842267639729e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.23842267639729e-05×40589641000000     		ar = 86568.6490778297m²