Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76231 / 58629
↖ ↑ ↗
← N 18.633233°
E 29.374695°		 ← 289.42 m → N 18.633233°
E 29.377442°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 18.630630°
E 29.374695°		 ← 289.42 m →
83 768 m²		 N 18.630630°
E 29.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581600189208984 y=0.447307586669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581600189208984 × 217)
    floor (0.581600189208984 × 131072)
    floor (76231.5)     		tx = 76231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447307586669922 × 217)
    floor (0.447307586669922 × 131072)
    floor (58629.5)     		ty = 58629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76231 / 58629 ti = "17/76231/58629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76231/58629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76231 ÷ 217
    76231 ÷ 131072     		x = 0.581596374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58629 ÷ 217
    58629 ÷ 131072     		y = 0.447303771972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581596374511719 × 2 - 1) × π
    0.163192749023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51268514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447303771972656 × 2 - 1) × π
    0.105392456054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.331100165675728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51268514} λ = 0.51268514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331100165675728))-π/2
    2×atan(1.39249926595277)-π/2
    2×0.948003792671267-π/2
    1.89600758534253-1.57079632675     		φ = 0.32521126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51268514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.374695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32521126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.633233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76231 KachelY 58629 0.51268514 0.32521126 29.374695 18.633233
    Oben rechts KachelX + 1 76232 KachelY 58629 0.51273308 0.32521126 29.377442 18.633233
    Unten links KachelX 76231 KachelY + 1 58630 0.51268514 0.32516583 29.374695 18.630630
    Unten rechts KachelX + 1 76232 KachelY + 1 58630 0.51273308 0.32516583 29.377442 18.630630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32521126-0.32516583) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dl = 289.434530000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32521126-0.32516583) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dr = 289.434530000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51268514-0.51273308) × cos(0.32521126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947583248094018 × 6371000     		do = 289.416314760529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51268514-0.51273308) × cos(0.32516583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947597762409097 × 6371000     		du = 289.420747805953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32521126)-sin(0.32516583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947583248094018-0.947597762409097)×R²
    abs(0.51273308-0.51268514)×1.45143150788174e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45143150788174e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45143150788174e-05×40589641000000     		ar = 83767.7165896371m²