Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7623 / 6089
↖ ↑ ↗
← N 74.185058°
W 96.251221°		 ← 332.93 m → N 74.185058°
W 96.240234°		 →
↑
332.95 m
↓
↑
332.95 m
↓
N 74.182063°
W 96.251221°		 ← 333 m →
110 860 m²		 N 74.182063°
W 96.240234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232650756835938 y=0.185836791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232650756835938 × 215)
    floor (0.232650756835938 × 32768)
    floor (7623.5)     		tx = 7623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185836791992188 × 215)
    floor (0.185836791992188 × 32768)
    floor (6089.5)     		ty = 6089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7623 / 6089 ti = "15/7623/6089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7623/6089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7623 ÷ 215
    7623 ÷ 32768     		x = 0.232635498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6089 ÷ 215
    6089 ÷ 32768     		y = 0.185821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232635498046875 × 2 - 1) × π
    -0.53472900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.67990071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185821533203125 × 2 - 1) × π
    0.62835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.97404152635391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67990071} λ = -1.67990071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97404152635391))-π/2
    2×atan(7.19971560800643)-π/2
    2×1.43278492079418-π/2
    2.86556984158836-1.57079632675     		φ = 1.29477351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67990071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29477351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.185058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7623 KachelY 6089 -1.67990071 1.29477351 -96.251221 74.185058
    Oben rechts KachelX + 1 7624 KachelY 6089 -1.67970896 1.29477351 -96.240234 74.185058
    Unten links KachelX 7623 KachelY + 1 6090 -1.67990071 1.29472125 -96.251221 74.182063
    Unten rechts KachelX + 1 7624 KachelY + 1 6090 -1.67970896 1.29472125 -96.240234 74.182063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29477351-1.29472125) × R
    5.22599999999152e-05 × 6371000     		dl = 332.948459999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29477351-1.29472125) × R
    5.22599999999152e-05 × 6371000     		dr = 332.948459999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67990071--1.67970896) × cos(1.29477351) × R
    0.000191750000000157 × 0.272531179400471 × 6371000     		do = 332.93478560468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67990071--1.67970896) × cos(1.29472125) × R
    0.000191750000000157 × 0.272581460827977 × 6371000     		du = 332.996211370067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29477351)-sin(1.29472125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272531179400471-0.272581460827977)×R²
    abs(-1.67970896--1.67990071)×5.02814275056829e-05×R²
    0.000191750000000157×5.02814275056829e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.02814275056829e-05×40589641000000     		ar = 110860.349979656m²