Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76229 / 59910
↖ ↑ ↗
← N 15.268288°
E 29.369202°		 ← 294.58 m → N 15.268288°
E 29.371948°		 →
↑
294.60 m
↓
↑
294.60 m
↓
N 15.265638°
E 29.369202°		 ← 294.59 m →
86 783 m²		 N 15.265638°
E 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581584930419922 y=0.457080841064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581584930419922 × 217)
    floor (0.581584930419922 × 131072)
    floor (76229.5)     		tx = 76229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457080841064453 × 217)
    floor (0.457080841064453 × 131072)
    floor (59910.5)     		ty = 59910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76229 / 59910 ti = "17/76229/59910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76229/59910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76229 ÷ 217
    76229 ÷ 131072     		x = 0.581581115722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59910 ÷ 217
    59910 ÷ 131072     		y = 0.457077026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581581115722656 × 2 - 1) × π
    0.163162231445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51258927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457077026367188 × 2 - 1) × π
    0.085845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.269692997262436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51258927} λ = 0.51258927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269692997262436))-π/2
    2×atan(1.30956234978696)-π/2
    2×0.918639110853316-π/2
    1.83727822170663-1.57079632675     		φ = 0.26648189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51258927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.369202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26648189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.268288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76229 KachelY 59910 0.51258927 0.26648189 29.369202 15.268288
    Oben rechts KachelX + 1 76230 KachelY 59910 0.51263720 0.26648189 29.371948 15.268288
    Unten links KachelX 76229 KachelY + 1 59911 0.51258927 0.26643565 29.369202 15.265638
    Unten rechts KachelX + 1 76230 KachelY + 1 59911 0.51263720 0.26643565 29.371948 15.265638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26648189-0.26643565) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dl = 294.595039999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26648189-0.26643565) × R
    4.62399999999752e-05 × 6371000     		dr = 294.595039999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51258927-0.51263720) × cos(0.26648189) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964703320627611 × 6371000     		do = 294.583764334768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51258927-0.51263720) × cos(0.26643565) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.964715496398151 × 6371000     		du = 294.587482352777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26648189)-sin(0.26643565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964703320627611-0.964715496398151)×R²
    abs(0.51263720-0.51258927)×1.21757705401349e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.21757705401349e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.21757705401349e-05×40589641000000     		ar = 86783.4635077098m²