Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76226 / 59332
↖ ↑ ↗
← N 16.794024°
E 29.360962°		 ← 292.34 m → N 16.794024°
E 29.363708°		 →
↑
292.43 m
↓
↑
292.43 m
↓
N 16.791394°
E 29.360962°		 ← 292.34 m →
85 489 m²		 N 16.791394°
E 29.363708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581562042236328 y=0.452671051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581562042236328 × 217)
    floor (0.581562042236328 × 131072)
    floor (76226.5)     		tx = 76226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452671051025391 × 217)
    floor (0.452671051025391 × 131072)
    floor (59332.5)     		ty = 59332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76226 / 59332 ti = "17/76226/59332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76226/59332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76226 ÷ 217
    76226 ÷ 131072     		x = 0.581558227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59332 ÷ 217
    59332 ÷ 131072     		y = 0.452667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581558227539062 × 2 - 1) × π
    0.163116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51244546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    0.09466552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.297400525242828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51244546} λ = 0.51244546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297400525242828))-π/2
    2×atan(1.34635444041029)-π/2
    2×0.931953666723895-π/2
    1.86390733344779-1.57079632675     		φ = 0.29311101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51244546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.360962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29311101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.794024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76226 KachelY 59332 0.51244546 0.29311101 29.360962 16.794024
    Oben rechts KachelX + 1 76227 KachelY 59332 0.51249339 0.29311101 29.363708 16.794024
    Unten links KachelX 76226 KachelY + 1 59333 0.51244546 0.29306511 29.360962 16.791394
    Unten rechts KachelX + 1 76227 KachelY + 1 59333 0.51249339 0.29306511 29.363708 16.791394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29311101-0.29306511) × R
    4.58999999999876e-05 × 6371000     		dl = 292.428899999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29311101-0.29306511) × R
    4.58999999999876e-05 × 6371000     		dr = 292.428899999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51244546-0.51249339) × cos(0.29311101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957349639593872 × 6371000     		do = 292.338229366332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51244546-0.51249339) × cos(0.29306511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957362900561565 × 6371000     		du = 292.342278762347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29311101)-sin(0.29306511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957349639593872-0.957362900561565)×R²
    abs(0.51249339-0.51244546)×1.32609676929407e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32609676929407e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32609676929407e-05×40589641000000     		ar = 85488.7389367486m²