Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76222 / 58822
↖ ↑ ↗
← N 18.130191°
E 29.349976°		 ← 290.26 m → N 18.130191°
E 29.352722°		 →
↑
290.26 m
↓
↑
290.26 m
↓
N 18.127581°
E 29.349976°		 ← 290.27 m →
84 253 m²		 N 18.127581°
E 29.352722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581531524658203 y=0.448780059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581531524658203 × 217)
    floor (0.581531524658203 × 131072)
    floor (76222.5)     		tx = 76222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448780059814453 × 217)
    floor (0.448780059814453 × 131072)
    floor (58822.5)     		ty = 58822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76222 / 58822 ti = "17/76222/58822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76222/58822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76222 ÷ 217
    76222 ÷ 131072     		x = 0.581527709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58822 ÷ 217
    58822 ÷ 131072     		y = 0.448776245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581527709960938 × 2 - 1) × π
    0.163055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51225371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448776245117188 × 2 - 1) × π
    0.102447509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.321848344049057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51225371} λ = 0.51225371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.321848344049057))-π/2
    2×atan(1.3796755240869)-π/2
    2×0.943613928238203-π/2
    1.88722785647641-1.57079632675     		φ = 0.31643153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51225371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.349976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31643153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.130191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76222 KachelY 58822 0.51225371 0.31643153 29.349976 18.130191
    Oben rechts KachelX + 1 76223 KachelY 58822 0.51230165 0.31643153 29.352722 18.130191
    Unten links KachelX 76222 KachelY + 1 58823 0.51225371 0.31638597 29.349976 18.127581
    Unten rechts KachelX + 1 76223 KachelY + 1 58823 0.51230165 0.31638597 29.352722 18.127581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31643153-0.31638597) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dl = 290.26276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31643153-0.31638597) × R
    4.556e-05 × 6371000     		dr = 290.26276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51225371-0.51230165) × cos(0.31643153) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.950351893269525 × 6371000     		do = 290.261930262728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51225371-0.51230165) × cos(0.31638597) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.950366069518558 × 6371000     		du = 290.266260054079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31643153)-sin(0.31638597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950351893269525-0.950366069518558)×R²
    abs(0.51230165-0.51225371)×1.41762490325492e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.41762490325492e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.41762490325492e-05×40589641000000     		ar = 84252.8574041181m²