Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76220 / 58562
↖ ↑ ↗
← N 18.807518°
E 29.344483°		 ← 289.06 m → N 18.807518°
E 29.347229°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
N 18.804918°
E 29.344483°		 ← 289.06 m →
83 553 m²		 N 18.804918°
E 29.347229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581516265869141 y=0.446796417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581516265869141 × 217)
    floor (0.581516265869141 × 131072)
    floor (76220.5)     		tx = 76220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446796417236328 × 217)
    floor (0.446796417236328 × 131072)
    floor (58562.5)     		ty = 58562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76220 / 58562 ti = "17/76220/58562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76220/58562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76220 ÷ 217
    76220 ÷ 131072     		x = 0.581512451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58562 ÷ 217
    58562 ÷ 131072     		y = 0.446792602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581512451171875 × 2 - 1) × π
    0.16302490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51215784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446792602539062 × 2 - 1) × π
    0.106414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.334311937950272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51215784} λ = 0.51215784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334311937950272))-π/2
    2×atan(1.39697884633276)-π/2
    2×0.94952472061268-π/2
    1.89904944122536-1.57079632675     		φ = 0.32825311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51215784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.344483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32825311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.807518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76220 KachelY 58562 0.51215784 0.32825311 29.344483 18.807518
    Oben rechts KachelX + 1 76221 KachelY 58562 0.51220577 0.32825311 29.347229 18.807518
    Unten links KachelX 76220 KachelY + 1 58563 0.51215784 0.32820774 29.344483 18.804918
    Unten rechts KachelX + 1 76221 KachelY + 1 58563 0.51220577 0.32820774 29.347229 18.804918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32825311-0.32820774) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dl = 289.05226999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32825311-0.32820774) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dr = 289.05226999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51215784-0.51220577) × cos(0.32825311) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946606967283644 × 6371000     		do = 289.057825142054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51215784-0.51220577) × cos(0.32820774) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946621593139268 × 6371000     		du = 289.062291323018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32825311)-sin(0.32820774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946606967283644-0.946621593139268)×R²
    abs(0.51220577-0.51215784)×1.46258556240619e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46258556240619e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46258556240619e-05×40589641000000     		ar = 83553.4660127727m²