Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7622 / 5314
↖ ↑ ↗
← N 76.346711°
W 96.262207°		 ← 288.36 m → N 76.346711°
W 96.251221°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 76.344117°
W 96.262207°		 ← 288.42 m →
83 176 m²		 N 76.344117°
W 96.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232620239257812 y=0.162185668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232620239257812 × 215)
    floor (0.232620239257812 × 32768)
    floor (7622.5)     		tx = 7622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162185668945312 × 215)
    floor (0.162185668945312 × 32768)
    floor (5314.5)     		ty = 5314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7622 / 5314 ti = "15/7622/5314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7622/5314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7622 ÷ 215
    7622 ÷ 32768     		x = 0.23260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5314 ÷ 215
    5314 ÷ 32768     		y = 0.16217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.5347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.68009246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16217041015625 × 2 - 1) × π
    0.6756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12264591517609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68009246} λ = -1.68009246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12264591517609))-π/2
    2×atan(8.35321015913128)-π/2
    2×1.45164890200076-π/2
    2.90329780400153-1.57079632675     		φ = 1.33250148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68009246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33250148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.346711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7622 KachelY 5314 -1.68009246 1.33250148 -96.262207 76.346711
    Oben rechts KachelX + 1 7623 KachelY 5314 -1.67990071 1.33250148 -96.251221 76.346711
    Unten links KachelX 7622 KachelY + 1 5315 -1.68009246 1.33245621 -96.262207 76.344117
    Unten rechts KachelX + 1 7623 KachelY + 1 5315 -1.67990071 1.33245621 -96.251221 76.344117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33250148-1.33245621) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dl = 288.415169999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33250148-1.33245621) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dr = 288.415169999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68009246--1.67990071) × cos(1.33250148) × R
    0.000191749999999935 × 0.236046001602947 × 6371000     		do = 288.363060363625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68009246--1.67990071) × cos(1.33245621) × R
    0.000191749999999935 × 0.236089992116054 × 6371000     		du = 288.416800901064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33250148)-sin(1.33245621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236046001602947-0.236089992116054)×R²
    abs(-1.67990071--1.68009246)×4.39905131074947e-05×R²
    0.000191749999999935×4.39905131074947e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.39905131074947e-05×40589641000000     		ar = 83176.030884131m²