Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7622 / 5059
↖ ↑ ↗
← N 56.523140°
W 12.524414°		 ← 1 347.68 m → N 56.523140°
W 12.502442°		 →
↑
1 347.91 m
↓
↑
1 347.91 m
↓
N 56.511018°
W 12.524414°		 ← 1 348.11 m →
1 816 842 m²		 N 56.511018°
W 12.502442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465240478515625 y=0.308807373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465240478515625 × 214)
    floor (0.465240478515625 × 16384)
    floor (7622.5)     		tx = 7622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308807373046875 × 214)
    floor (0.308807373046875 × 16384)
    floor (5059.5)     		ty = 5059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7622 / 5059 ti = "14/7622/5059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7622/5059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7622 ÷ 214
    7622 ÷ 16384     		x = 0.4652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5059 ÷ 214
    5059 ÷ 16384     		y = 0.30877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21859226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30877685546875 × 2 - 1) × π
    0.3824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20149045207709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21859226} λ = -0.21859226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20149045207709))-π/2
    2×atan(3.32506908746557)-π/2
    2×1.27865560786926-π/2
    2.55731121573852-1.57079632675     		φ = 0.98651489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21859226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98651489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.523140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7622 KachelY 5059 -0.21859226 0.98651489 -12.524414 56.523140
    Oben rechts KachelX + 1 7623 KachelY 5059 -0.21820877 0.98651489 -12.502442 56.523140
    Unten links KachelX 7622 KachelY + 1 5060 -0.21859226 0.98630332 -12.524414 56.511018
    Unten rechts KachelX + 1 7623 KachelY + 1 5060 -0.21820877 0.98630332 -12.502442 56.511018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98651489-0.98630332) × R
    0.00021157000000005 × 6371000     		dl = 1347.91247000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98651489-0.98630332) × R
    0.00021157000000005 × 6371000     		dr = 1347.91247000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21859226--0.21820877) × cos(0.98651489) × R
    0.000383490000000014 × 0.551600164993815 × 6371000     		do = 1347.67768127938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21859226--0.21820877) × cos(0.98630332) × R
    0.000383490000000014 × 0.551776625016533 × 6371000     		du = 1348.10881101673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98651489)-sin(0.98630332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551600164993815-0.551776625016533)×R²
    abs(-0.21820877--0.21859226)×0.000176460022717539×R²
    0.000383490000000014×0.000176460022717539×6371000²
    0.000383490000000014×0.000176460022717539×40589641000000     		ar = 1816842.12148968m²