Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76219 / 59978
↖ ↑ ↗
← N 15.088036°
E 29.341736°		 ← 294.90 m → N 15.088036°
E 29.344483°		 →
↑
294.91 m
↓
↑
294.91 m
↓
N 15.085383°
E 29.341736°		 ← 294.90 m →
86 970 m²		 N 15.085383°
E 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581508636474609 y=0.457599639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581508636474609 × 217)
    floor (0.581508636474609 × 131072)
    floor (76219.5)     		tx = 76219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457599639892578 × 217)
    floor (0.457599639892578 × 131072)
    floor (59978.5)     		ty = 59978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76219 / 59978 ti = "17/76219/59978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76219/59978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76219 ÷ 217
    76219 ÷ 131072     		x = 0.581504821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59978 ÷ 217
    59978 ÷ 131072     		y = 0.457595825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581504821777344 × 2 - 1) × π
    0.163009643554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51210990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457595825195312 × 2 - 1) × π
    0.084808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266433288088272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51210990} λ = 0.51210990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266433288088272))-π/2
    2×atan(1.30530050733844)-π/2
    2×0.917066112274701-π/2
    1.8341322245494-1.57079632675     		φ = 0.26333590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51210990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.341736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26333590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.088036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76219 KachelY 59978 0.51210990 0.26333590 29.341736 15.088036
    Oben rechts KachelX + 1 76220 KachelY 59978 0.51215784 0.26333590 29.344483 15.088036
    Unten links KachelX 76219 KachelY + 1 59979 0.51210990 0.26328961 29.341736 15.085383
    Unten rechts KachelX + 1 76220 KachelY + 1 59979 0.51215784 0.26328961 29.344483 15.085383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26333590-0.26328961) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dl = 294.913590000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26333590-0.26328961) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dr = 294.913590000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51210990-0.51215784) × cos(0.26333590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965527007612629 × 6371000     		do = 294.89680078988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51210990-0.51215784) × cos(0.26328961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965539055999224 × 6371000     		du = 294.900480677271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26333590)-sin(0.26328961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965527007612629-0.965539055999224)×R²
    abs(0.51215784-0.51210990)×1.20483865947429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20483865947429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20483865947429e-05×40589641000000     		ar = 86969.616840462m²