Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76219 / 59907
↖ ↑ ↗
← N 15.276237°
E 29.341736°		 ← 294.63 m → N 15.276237°
E 29.344483°		 →
↑
294.66 m
↓
↑
294.66 m
↓
N 15.273587°
E 29.341736°		 ← 294.64 m →
86 817 m²		 N 15.273587°
E 29.344483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581508636474609 y=0.457057952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581508636474609 × 217)
    floor (0.581508636474609 × 131072)
    floor (76219.5)     		tx = 76219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457057952880859 × 217)
    floor (0.457057952880859 × 131072)
    floor (59907.5)     		ty = 59907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76219 / 59907 ti = "17/76219/59907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76219/59907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76219 ÷ 217
    76219 ÷ 131072     		x = 0.581504821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59907 ÷ 217
    59907 ÷ 131072     		y = 0.457054138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581504821777344 × 2 - 1) × π
    0.163009643554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51210990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457054138183594 × 2 - 1) × π
    0.0858917236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.269836807961296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51210990} λ = 0.51210990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269836807961296))-π/2
    2×atan(1.30975069240621)-π/2
    2×0.918708476868878-π/2
    1.83741695373776-1.57079632675     		φ = 0.26662063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51210990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.341736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26662063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.276237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76219 KachelY 59907 0.51210990 0.26662063 29.341736 15.276237
    Oben rechts KachelX + 1 76220 KachelY 59907 0.51215784 0.26662063 29.344483 15.276237
    Unten links KachelX 76219 KachelY + 1 59908 0.51210990 0.26657438 29.341736 15.273587
    Unten rechts KachelX + 1 76220 KachelY + 1 59908 0.51215784 0.26657438 29.344483 15.273587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26662063-0.26657438) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dl = 294.658750000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26662063-0.26657438) × R
    4.62500000000254e-05 × 6371000     		dr = 294.658750000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51210990-0.51215784) × cos(0.26662063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964666775670624 × 6371000     		do = 294.634063812421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51210990-0.51215784) × cos(0.26657438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964678960264267 × 6371000     		du = 294.637785300951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26662063)-sin(0.26657438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964666775670624-0.964678960264267)×R²
    abs(0.51215784-0.51210990)×1.21845936431608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21845936431608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21845936431608e-05×40589641000000     		ar = 86817.0532504319m²