Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76218 / 58723
↖ ↑ ↗
← N 18.388411°
E 29.338989°		 ← 289.83 m → N 18.388411°
E 29.341736°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 18.385805°
E 29.338989°		 ← 289.84 m →
83 998 m²		 N 18.385805°
E 29.341736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581501007080078 y=0.448024749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581501007080078 × 217)
    floor (0.581501007080078 × 131072)
    floor (76218.5)     		tx = 76218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448024749755859 × 217)
    floor (0.448024749755859 × 131072)
    floor (58723.5)     		ty = 58723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76218 / 58723 ti = "17/76218/58723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76218/58723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76218 ÷ 217
    76218 ÷ 131072     		x = 0.581497192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58723 ÷ 217
    58723 ÷ 131072     		y = 0.448020935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581497192382812 × 2 - 1) × π
    0.162994384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51206196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448020935058594 × 2 - 1) × π
    0.103958129882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.326594097111443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51206196} λ = 0.51206196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326594097111443))-π/2
    2×atan(1.38623868468214)-π/2
    2×0.945867324022086-π/2
    1.89173464804417-1.57079632675     		φ = 0.32093832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51206196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.338989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32093832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.388411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76218 KachelY 58723 0.51206196 0.32093832 29.338989 18.388411
    Oben rechts KachelX + 1 76219 KachelY 58723 0.51210990 0.32093832 29.341736 18.388411
    Unten links KachelX 76218 KachelY + 1 58724 0.51206196 0.32089283 29.338989 18.385805
    Unten rechts KachelX + 1 76219 KachelY + 1 58724 0.51210990 0.32089283 29.341736 18.385805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32093832-0.32089283) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dl = 289.816789999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32093832-0.32089283) × R
    4.54899999999814e-05 × 6371000     		dr = 289.816789999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51206196-0.51210990) × cos(0.32093832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948939836156112 × 6371000     		do = 289.830651673269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51206196-0.51210990) × cos(0.32089283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948954185318137 × 6371000     		du = 289.835034276699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32093832)-sin(0.32089283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948939836156112-0.948954185318137)×R²
    abs(0.51210990-0.51206196)×1.43491620249181e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43491620249181e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43491620249181e-05×40589641000000     		ar = 83998.4242019769m²