Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76216 / 58469
↖ ↑ ↗
← N 19.049138°
E 29.333496°		 ← 288.64 m → N 19.049138°
E 29.336242°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
N 19.046541°
E 29.333496°		 ← 288.64 m →
83 322 m²		 N 19.046541°
E 29.336242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581485748291016 y=0.446086883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581485748291016 × 217)
    floor (0.581485748291016 × 131072)
    floor (76216.5)     		tx = 76216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446086883544922 × 217)
    floor (0.446086883544922 × 131072)
    floor (58469.5)     		ty = 58469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76216 / 58469 ti = "17/76216/58469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76216/58469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76216 ÷ 217
    76216 ÷ 131072     		x = 0.58148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58469 ÷ 217
    58469 ÷ 131072     		y = 0.446083068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58148193359375 × 2 - 1) × π
    0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446083068847656 × 2 - 1) × π
    0.107833862304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.338770069614937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51196609} λ = 0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338770069614937))-π/2
    2×atan(1.40322066504932)-π/2
    2×0.951633247990164-π/2
    1.90326649598033-1.57079632675     		φ = 0.33247017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33247017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.049138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76216 KachelY 58469 0.51196609 0.33247017 29.333496 19.049138
    Oben rechts KachelX + 1 76217 KachelY 58469 0.51201402 0.33247017 29.336242 19.049138
    Unten links KachelX 76216 KachelY + 1 58470 0.51196609 0.33242486 29.333496 19.046541
    Unten rechts KachelX + 1 76217 KachelY + 1 58470 0.51201402 0.33242486 29.336242 19.046541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33247017-0.33242486) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dl = 288.670010000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33247017-0.33242486) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dr = 288.670010000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51196609-0.51201402) × cos(0.33247017) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.945239016724295 × 6371000     		do = 288.640104981643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51196609-0.51201402) × cos(0.33242486) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.945253803982997 × 6371000     		du = 288.644620448978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33247017)-sin(0.33242486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945239016724295-0.945253803982997)×R²
    abs(0.51201402-0.51196609)×1.47872587019648e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.47872587019648e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.47872587019648e-05×40589641000000     		ar = 83322.3937457568m²