Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76212 / 59900
↖ ↑ ↗
← N 15.294782°
E 29.322510°		 ← 294.61 m → N 15.294782°
E 29.325257°		 →
↑
294.53 m
↓
↑
294.53 m
↓
N 15.292134°
E 29.322510°		 ← 294.61 m →
86 772 m²		 N 15.292134°
E 29.325257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581455230712891 y=0.457004547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581455230712891 × 217)
    floor (0.581455230712891 × 131072)
    floor (76212.5)     		tx = 76212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457004547119141 × 217)
    floor (0.457004547119141 × 131072)
    floor (59900.5)     		ty = 59900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76212 / 59900 ti = "17/76212/59900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76212/59900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76212 ÷ 217
    76212 ÷ 131072     		x = 0.581451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59900 ÷ 217
    59900 ÷ 131072     		y = 0.457000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457000732421875 × 2 - 1) × π
    0.08599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.270172366258636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51177434} λ = 0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270172366258636))-π/2
    2×atan(1.31019026386529)-π/2
    2×0.918870320682104-π/2
    1.83774064136421-1.57079632675     		φ = 0.26694431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26694431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.294782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76212 KachelY 59900 0.51177434 0.26694431 29.322510 15.294782
    Oben rechts KachelX + 1 76213 KachelY 59900 0.51182228 0.26694431 29.325257 15.294782
    Unten links KachelX 76212 KachelY + 1 59901 0.51177434 0.26689808 29.322510 15.292134
    Unten rechts KachelX + 1 76213 KachelY + 1 59901 0.51182228 0.26689808 29.325257 15.292134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26694431-0.26689808) × R
    4.6230000000036e-05 × 6371000     		dl = 294.531330000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26694431-0.26689808) × R
    4.6230000000036e-05 × 6371000     		dr = 294.531330000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51177434-0.51182228) × cos(0.26694431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964581444204038 × 6371000     		do = 294.608001386094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51177434-0.51182228) × cos(0.26689808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964593637963577 × 6371000     		du = 294.611725674124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26694431)-sin(0.26689808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964581444204038-0.964593637963577)×R²
    abs(0.51182228-0.51177434)×1.21937595382038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.21937595382038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.21937595382038e-05×40589641000000     		ar = 86771.8349521814m²