Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76212 / 58724
↖ ↑ ↗
← N 18.385805°
E 29.322510°		 ← 289.84 m → N 18.385805°
E 29.325257°		 →
↑
289.82 m
↓
↑
289.82 m
↓
N 18.383198°
E 29.322510°		 ← 289.84 m →
84 000 m²		 N 18.383198°
E 29.325257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581455230712891 y=0.448032379150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581455230712891 × 217)
    floor (0.581455230712891 × 131072)
    floor (76212.5)     		tx = 76212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448032379150391 × 217)
    floor (0.448032379150391 × 131072)
    floor (58724.5)     		ty = 58724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76212 / 58724 ti = "17/76212/58724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76212/58724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76212 ÷ 217
    76212 ÷ 131072     		x = 0.581451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58724 ÷ 217
    58724 ÷ 131072     		y = 0.448028564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448028564453125 × 2 - 1) × π
    0.10394287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.326546160211823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51177434} λ = 0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326546160211823))-π/2
    2×atan(1.38617223429018)-π/2
    2×0.945844579233295-π/2
    1.89168915846659-1.57079632675     		φ = 0.32089283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32089283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.385805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76212 KachelY 58724 0.51177434 0.32089283 29.322510 18.385805
    Oben rechts KachelX + 1 76213 KachelY 58724 0.51182228 0.32089283 29.325257 18.385805
    Unten links KachelX 76212 KachelY + 1 58725 0.51177434 0.32084734 29.322510 18.383198
    Unten rechts KachelX + 1 76213 KachelY + 1 58725 0.51182228 0.32084734 29.325257 18.383198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32089283-0.32084734) × R
    4.54900000000369e-05 × 6371000     		dl = 289.816790000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32089283-0.32084734) × R
    4.54900000000369e-05 × 6371000     		dr = 289.816790000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51177434-0.51182228) × cos(0.32089283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948954185318137 × 6371000     		do = 289.835034276699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51177434-0.51182228) × cos(0.32084734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948968532516453 × 6371000     		du = 289.839416280362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32089283)-sin(0.32084734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948954185318137-0.948968532516453)×R²
    abs(0.51182228-0.51177434)×1.43471983159449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43471983159449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43471983159449e-05×40589641000000     		ar = 83999.6942673638m²