Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76212 / 55164
↖ ↑ ↗
← N 27.381523°
E 29.322510°		 ← 271.21 m → N 27.381523°
E 29.325257°		 →
↑
271.15 m
↓
↑
271.15 m
↓
N 27.379084°
E 29.322510°		 ← 271.21 m →
73 539 m²		 N 27.379084°
E 29.325257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581455230712891 y=0.420871734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581455230712891 × 217)
    floor (0.581455230712891 × 131072)
    floor (76212.5)     		tx = 76212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420871734619141 × 217)
    floor (0.420871734619141 × 131072)
    floor (55164.5)     		ty = 55164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76212 / 55164 ti = "17/76212/55164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76212/55164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76212 ÷ 217
    76212 ÷ 131072     		x = 0.581451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55164 ÷ 217
    55164 ÷ 131072     		y = 0.420867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420867919921875 × 2 - 1) × π
    0.15826416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.497201522859222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51177434} λ = 0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497201522859222))-π/2
    2×atan(1.64411381185362)-π/2
    2×1.02434703034436-π/2
    2.04869406068872-1.57079632675     		φ = 0.47789773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47789773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.381523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76212 KachelY 55164 0.51177434 0.47789773 29.322510 27.381523
    Oben rechts KachelX + 1 76213 KachelY 55164 0.51182228 0.47789773 29.325257 27.381523
    Unten links KachelX 76212 KachelY + 1 55165 0.51177434 0.47785517 29.322510 27.379084
    Unten rechts KachelX + 1 76213 KachelY + 1 55165 0.51182228 0.47785517 29.325257 27.379084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47789773-0.47785517) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dl = 271.149760000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47789773-0.47785517) × R
    4.25600000000248e-05 × 6371000     		dr = 271.149760000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51177434-0.51182228) × cos(0.47789773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887963746517907 × 6371000     		do = 271.206984373226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51177434-0.51182228) × cos(0.47785517) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.887983319630281 × 6371000     		du = 271.212962505557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47789773)-sin(0.47785517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887963746517907-0.887983319630281)×R²
    abs(0.51182228-0.51177434)×1.9573112374216e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9573112374216e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9573112374216e-05×40589641000000     		ar = 73538.5192188351m²