Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76211 / 58491
↖ ↑ ↗
← N 18.992012°
E 29.319763°		 ← 288.80 m → N 18.992012°
E 29.322510°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
N 18.989415°
E 29.319763°		 ← 288.80 m →
83 405 m²		 N 18.989415°
E 29.322510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581447601318359 y=0.446254730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581447601318359 × 217)
    floor (0.581447601318359 × 131072)
    floor (76211.5)     		tx = 76211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446254730224609 × 217)
    floor (0.446254730224609 × 131072)
    floor (58491.5)     		ty = 58491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76211 / 58491 ti = "17/76211/58491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76211/58491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76211 ÷ 217
    76211 ÷ 131072     		x = 0.581443786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58491 ÷ 217
    58491 ÷ 131072     		y = 0.446250915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581443786621094 × 2 - 1) × π
    0.162887573242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51172640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446250915527344 × 2 - 1) × π
    0.107498168945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.337715457823296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51172640} λ = 0.51172640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337715457823296))-π/2
    2×atan(1.40174159205068)-π/2
    2×0.951134732175705-π/2
    1.90226946435141-1.57079632675     		φ = 0.33147314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51172640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.319763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33147314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.992012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76211 KachelY 58491 0.51172640 0.33147314 29.319763 18.992012
    Oben rechts KachelX + 1 76212 KachelY 58491 0.51177434 0.33147314 29.322510 18.992012
    Unten links KachelX 76211 KachelY + 1 58492 0.51172640 0.33142781 29.319763 18.989415
    Unten rechts KachelX + 1 76212 KachelY + 1 58492 0.51177434 0.33142781 29.322510 18.989415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33147314-0.33142781) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33147314-0.33142781) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51172640-0.51177434) × cos(0.33147314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945563956431524 × 6371000     		do = 288.799571110236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51172640-0.51177434) × cos(0.33142781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94557870748884 × 6371000     		du = 288.804076462833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33147314)-sin(0.33142781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945563956431524-0.94557870748884)×R²
    abs(0.51177434-0.51172640)×1.47510573164089e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47510573164089e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47510573164089e-05×40589641000000     		ar = 83405.2245031255m²