Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76210 / 58490
↖ ↑ ↗
← N 18.994609°
E 29.317017°		 ← 288.73 m → N 18.994609°
E 29.319763°		 →
↑
288.73 m
↓
↑
288.73 m
↓
N 18.992012°
E 29.317017°		 ← 288.74 m →
83 368 m²		 N 18.992012°
E 29.319763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581439971923828 y=0.446247100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581439971923828 × 217)
    floor (0.581439971923828 × 131072)
    floor (76210.5)     		tx = 76210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446247100830078 × 217)
    floor (0.446247100830078 × 131072)
    floor (58490.5)     		ty = 58490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76210 / 58490 ti = "17/76210/58490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76210/58490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76210 ÷ 217
    76210 ÷ 131072     		x = 0.581436157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58490 ÷ 217
    58490 ÷ 131072     		y = 0.446243286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581436157226562 × 2 - 1) × π
    0.162872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51167847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446243286132812 × 2 - 1) × π
    0.107513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.337763394722916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51167847} λ = 0.51167847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337763394722916))-π/2
    2×atan(1.40180878880726)-π/2
    2×0.951157395701167-π/2
    1.90231479140233-1.57079632675     		φ = 0.33151846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51167847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.317017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33151846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.994609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76210 KachelY 58490 0.51167847 0.33151846 29.317017 18.994609
    Oben rechts KachelX + 1 76211 KachelY 58490 0.51172640 0.33151846 29.319763 18.994609
    Unten links KachelX 76210 KachelY + 1 58491 0.51167847 0.33147314 29.317017 18.992012
    Unten rechts KachelX + 1 76211 KachelY + 1 58491 0.51172640 0.33147314 29.319763 18.992012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33151846-0.33147314) × R
    4.53200000000153e-05 × 6371000     		dl = 288.733720000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33151846-0.33147314) × R
    4.53200000000153e-05 × 6371000     		dr = 288.733720000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51167847-0.51172640) × cos(0.33151846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.945549206686046 × 6371000     		do = 288.734825218717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51167847-0.51172640) × cos(0.33147314) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.945563956431524 × 6371000     		du = 288.739329230938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33151846)-sin(0.33147314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945549206686046-0.945563956431524)×R²
    abs(0.51172640-0.51167847)×1.47497454777712e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.47497454777712e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.47497454777712e-05×40589641000000     		ar = 83368.1304233758m²