Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7621 / 4067
↖ ↑ ↗
← N 66.765919°
W 12.546387°		 ← 963.85 m → N 66.765919°
W 12.524414°		 →
↑
964 m
↓
↑
964 m
↓
N 66.757250°
W 12.546387°		 ← 964.19 m →
929 307 m²		 N 66.757250°
W 12.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465179443359375 y=0.248260498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465179443359375 × 214)
    floor (0.465179443359375 × 16384)
    floor (7621.5)     		tx = 7621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248260498046875 × 214)
    floor (0.248260498046875 × 16384)
    floor (4067.5)     		ty = 4067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7621 / 4067 ti = "14/7621/4067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7621/4067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7621 ÷ 214
    7621 ÷ 16384     		x = 0.46514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4067 ÷ 214
    4067 ÷ 16384     		y = 0.24822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.0697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21897576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24822998046875 × 2 - 1) × π
    0.5035400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21897576} λ = -0.21897576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58191768746185))-π/2
    2×atan(4.86427503194487)-π/2
    2×1.36804072360611-π/2
    2.73608144721221-1.57079632675     		φ = 1.16528512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21897576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.546387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16528512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.765919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7621 KachelY 4067 -0.21897576 1.16528512 -12.546387 66.765919
    Oben rechts KachelX + 1 7622 KachelY 4067 -0.21859226 1.16528512 -12.524414 66.765919
    Unten links KachelX 7621 KachelY + 1 4068 -0.21897576 1.16513381 -12.546387 66.757250
    Unten rechts KachelX + 1 7622 KachelY + 1 4068 -0.21859226 1.16513381 -12.524414 66.757250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16528512-1.16513381) × R
    0.000151310000000127 × 6371000     		dl = 963.996010000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16528512-1.16513381) × R
    0.000151310000000127 × 6371000     		dr = 963.996010000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21897576--0.21859226) × cos(1.16528512) × R
    0.000383499999999981 × 0.394488560256022 × 6371000     		do = 963.845417769446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21897576--0.21859226) × cos(1.16513381) × R
    0.000383499999999981 × 0.394627594627558 × 6371000     		du = 964.18511746018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16528512)-sin(1.16513381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394488560256022-0.394627594627558)×R²
    abs(-0.21859226--0.21897576)×0.000139034371535618×R²
    0.000383499999999981×0.000139034371535618×6371000²
    0.000383499999999981×0.000139034371535618×40589641000000     		ar = 929306.873332049m²