Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76207 / 58607
↖ ↑ ↗
← N 18.690480°
E 29.308777°		 ← 289.26 m → N 18.690480°
E 29.311523°		 →
↑
289.31 m
↓
↑
289.31 m
↓
N 18.687878°
E 29.308777°		 ← 289.26 m →
83 685 m²		 N 18.687878°
E 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581417083740234 y=0.447139739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581417083740234 × 217)
    floor (0.581417083740234 × 131072)
    floor (76207.5)     		tx = 76207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447139739990234 × 217)
    floor (0.447139739990234 × 131072)
    floor (58607.5)     		ty = 58607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76207 / 58607 ti = "17/76207/58607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76207/58607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76207 ÷ 217
    76207 ÷ 131072     		x = 0.581413269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58607 ÷ 217
    58607 ÷ 131072     		y = 0.447135925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581413269042969 × 2 - 1) × π
    0.162826538085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51153466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447135925292969 × 2 - 1) × π
    0.105728149414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.332154777467369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51153466} λ = 0.51153466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.332154777467369))-π/2
    2×atan(1.39396858674383)-π/2
    2×0.948503374648084-π/2
    1.89700674929617-1.57079632675     		φ = 0.32621042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51153466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.308777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32621042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.690480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76207 KachelY 58607 0.51153466 0.32621042 29.308777 18.690480
    Oben rechts KachelX + 1 76208 KachelY 58607 0.51158259 0.32621042 29.311523 18.690480
    Unten links KachelX 76207 KachelY + 1 58608 0.51153466 0.32616501 29.308777 18.687878
    Unten rechts KachelX + 1 76208 KachelY + 1 58608 0.51158259 0.32616501 29.311523 18.687878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32621042-0.32616501) × R
    4.54100000000235e-05 × 6371000     		dl = 289.30711000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32621042-0.32616501) × R
    4.54100000000235e-05 × 6371000     		dr = 289.30711000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51153466-0.51158259) × cos(0.32621042) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.947263534559307 × 6371000     		do = 289.258315857512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51153466-0.51158259) × cos(0.32616501) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.947278085471757 × 6371000     		du = 289.262759153676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32621042)-sin(0.32616501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947263534559307-0.947278085471757)×R²
    abs(0.51158259-0.51153466)×1.45509124505061e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.45509124505061e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.45509124505061e-05×40589641000000     		ar = 83685.1301572863m²