Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76206 / 58496
↖ ↑ ↗
← N 18.979026°
E 29.306030°		 ← 288.82 m → N 18.979026°
E 29.308777°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
N 18.976429°
E 29.306030°		 ← 288.83 m →
83 412 m²		 N 18.976429°
E 29.308777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581409454345703 y=0.446292877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581409454345703 × 217)
    floor (0.581409454345703 × 131072)
    floor (76206.5)     		tx = 76206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446292877197266 × 217)
    floor (0.446292877197266 × 131072)
    floor (58496.5)     		ty = 58496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76206 / 58496 ti = "17/76206/58496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76206/58496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76206 ÷ 217
    76206 ÷ 131072     		x = 0.581405639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58496 ÷ 217
    58496 ÷ 131072     		y = 0.4462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581405639648438 × 2 - 1) × π
    0.162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51148672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    0.107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51148672} λ = 0.51148672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337475773325195))-π/2
    2×atan(1.40140565658159)-π/2
    2×0.951021409245768-π/2
    1.90204281849154-1.57079632675     		φ = 0.33124649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51148672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.306030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33124649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.979026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76206 KachelY 58496 0.51148672 0.33124649 29.306030 18.979026
    Oben rechts KachelX + 1 76207 KachelY 58496 0.51153466 0.33124649 29.308777 18.979026
    Unten links KachelX 76206 KachelY + 1 58497 0.51148672 0.33120116 29.306030 18.976429
    Unten rechts KachelX + 1 76207 KachelY + 1 58497 0.51153466 0.33120116 29.308777 18.976429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33124649-0.33120116) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33124649-0.33120116) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51148672-0.51153466) × cos(0.33124649) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945637692287967 × 6371000     		do = 288.822091939424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51148672-0.51153466) × cos(0.33120116) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945652433630063 × 6371000     		du = 288.826594324742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33124649)-sin(0.33120116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945637692287967-0.945652433630063)×R²
    abs(0.51153466-0.51148672)×1.47413420956699e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.47413420956699e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.47413420956699e-05×40589641000000     		ar = 83411.7280323247m²