Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76206 / 54586
↖ ↑ ↗
← N 28.782103°
E 29.306030°		 ← 267.69 m → N 28.782103°
E 29.308777°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
N 28.779696°
E 29.306030°		 ← 267.70 m →
71 648 m²		 N 28.779696°
E 29.308777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581409454345703 y=0.416461944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581409454345703 × 217)
    floor (0.581409454345703 × 131072)
    floor (76206.5)     		tx = 76206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416461944580078 × 217)
    floor (0.416461944580078 × 131072)
    floor (54586.5)     		ty = 54586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76206 / 54586 ti = "17/76206/54586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76206/54586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76206 ÷ 217
    76206 ÷ 131072     		x = 0.581405639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54586 ÷ 217
    54586 ÷ 131072     		y = 0.416458129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581405639648438 × 2 - 1) × π
    0.162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51148672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416458129882812 × 2 - 1) × π
    0.167083740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.524909050839615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51148672} λ = 0.51148672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524909050839615))-π/2
    2×atan(1.69030510955748)-π/2
    2×1.03656940077023-π/2
    2.07313880154046-1.57079632675     		φ = 0.50234247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51148672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.306030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50234247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.782103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76206 KachelY 54586 0.51148672 0.50234247 29.306030 28.782103
    Oben rechts KachelX + 1 76207 KachelY 54586 0.51153466 0.50234247 29.308777 28.782103
    Unten links KachelX 76206 KachelY + 1 54587 0.51148672 0.50230046 29.306030 28.779696
    Unten rechts KachelX + 1 76207 KachelY + 1 54587 0.51153466 0.50230046 29.308777 28.779696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50234247-0.50230046) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dl = 267.645710000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50234247-0.50230046) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dr = 267.645710000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51148672-0.51153466) × cos(0.50234247) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.876457115256644 × 6371000     		do = 267.69256300597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51148672-0.51153466) × cos(0.50230046) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.876477341455186 × 6371000     		du = 267.698740607627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50234247)-sin(0.50230046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876457115256644-0.876477341455186)×R²
    abs(0.51153466-0.51148672)×2.02261985426944e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.02261985426944e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.02261985426944e-05×40589641000000     		ar = 71647.592802252m²