Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76205 / 59967
↖ ↑ ↗
← N 15.117204°
E 29.303284°		 ← 294.86 m → N 15.117204°
E 29.306030°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.114553°
E 29.303284°		 ← 294.86 m →
86 939 m²		 N 15.114553°
E 29.306030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581401824951172 y=0.457515716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581401824951172 × 217)
    floor (0.581401824951172 × 131072)
    floor (76205.5)     		tx = 76205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457515716552734 × 217)
    floor (0.457515716552734 × 131072)
    floor (59967.5)     		ty = 59967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76205 / 59967 ti = "17/76205/59967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76205/59967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76205 ÷ 217
    76205 ÷ 131072     		x = 0.581398010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59967 ÷ 217
    59967 ÷ 131072     		y = 0.457511901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581398010253906 × 2 - 1) × π
    0.162796020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51143878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457511901855469 × 2 - 1) × π
    0.0849761962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.266960593984093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51143878} λ = 0.51143878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266960593984093))-π/2
    2×atan(1.30598898149407)-π/2
    2×0.917320658835868-π/2
    1.83464131767174-1.57079632675     		φ = 0.26384499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51143878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.303284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26384499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.117204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76205 KachelY 59967 0.51143878 0.26384499 29.303284 15.117204
    Oben rechts KachelX + 1 76206 KachelY 59967 0.51148672 0.26384499 29.306030 15.117204
    Unten links KachelX 76205 KachelY + 1 59968 0.51143878 0.26379871 29.303284 15.114553
    Unten rechts KachelX + 1 76206 KachelY + 1 59968 0.51148672 0.26379871 29.306030 15.114553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26384499-0.26379871) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dl = 294.849880000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26384499-0.26379871) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dr = 294.849880000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51143878-0.51148672) × cos(0.26384499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965394364898039 × 6371000     		do = 294.85628829062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51143878-0.51148672) × cos(0.26379871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965406433429109 × 6371000     		du = 294.859974330653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26384499)-sin(0.26379871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965394364898039-0.965406433429109)×R²
    abs(0.51148672-0.51143878)×1.20685310704971e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20685310704971e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20685310704971e-05×40589641000000     		ar = 86938.8846495646m²