Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76205 / 59964
↖ ↑ ↗
← N 15.125159°
E 29.303284°		 ← 294.85 m → N 15.125159°
E 29.306030°		 →
↑
294.79 m
↓
↑
294.79 m
↓
N 15.122508°
E 29.303284°		 ← 294.85 m →
86 917 m²		 N 15.122508°
E 29.306030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581401824951172 y=0.457492828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581401824951172 × 217)
    floor (0.581401824951172 × 131072)
    floor (76205.5)     		tx = 76205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457492828369141 × 217)
    floor (0.457492828369141 × 131072)
    floor (59964.5)     		ty = 59964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76205 / 59964 ti = "17/76205/59964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76205/59964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76205 ÷ 217
    76205 ÷ 131072     		x = 0.581398010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59964 ÷ 217
    59964 ÷ 131072     		y = 0.457489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581398010253906 × 2 - 1) × π
    0.162796020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51143878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457489013671875 × 2 - 1) × π
    0.08502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.267104404682953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51143878} λ = 0.51143878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267104404682953))-π/2
    2×atan(1.30617681018777)-π/2
    2×0.917390074553047-π/2
    1.83478014910609-1.57079632675     		φ = 0.26398382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51143878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.303284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26398382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.125159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76205 KachelY 59964 0.51143878 0.26398382 29.303284 15.125159
    Oben rechts KachelX + 1 76206 KachelY 59964 0.51148672 0.26398382 29.306030 15.125159
    Unten links KachelX 76205 KachelY + 1 59965 0.51143878 0.26393755 29.303284 15.122508
    Unten rechts KachelX + 1 76206 KachelY + 1 59965 0.51148672 0.26393755 29.306030 15.122508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26398382-0.26393755) × R
    4.62699999999594e-05 × 6371000     		dl = 294.786169999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26398382-0.26393755) × R
    4.62699999999594e-05 × 6371000     		dr = 294.786169999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51143878-0.51148672) × cos(0.26398382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965358149507902 × 6371000     		do = 294.845227178288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51143878-0.51148672) × cos(0.26393755) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965370221632767 × 6371000     		du = 294.848914315959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26398382)-sin(0.26393755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965358149507902-0.965370221632767)×R²
    abs(0.51148672-0.51143878)×1.20721248648703e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20721248648703e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20721248648703e-05×40589641000000     		ar = 86916.838736708m²