Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76202 / 58474
↖ ↑ ↗
← N 19.036156°
E 29.295044°		 ← 288.72 m → N 19.036156°
E 29.297791°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
N 19.033560°
E 29.295044°		 ← 288.73 m →
83 346 m²		 N 19.033560°
E 29.297791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581378936767578 y=0.446125030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581378936767578 × 217)
    floor (0.581378936767578 × 131072)
    floor (76202.5)     		tx = 76202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446125030517578 × 217)
    floor (0.446125030517578 × 131072)
    floor (58474.5)     		ty = 58474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76202 / 58474 ti = "17/76202/58474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76202/58474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76202 ÷ 217
    76202 ÷ 131072     		x = 0.581375122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58474 ÷ 217
    58474 ÷ 131072     		y = 0.446121215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581375122070312 × 2 - 1) × π
    0.162750244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51129497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446121215820312 × 2 - 1) × π
    0.107757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.338530385116837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51129497} λ = 0.51129497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338530385116837))-π/2
    2×atan(1.40288437511184)-π/2
    2×0.951519963990516-π/2
    1.90303992798103-1.57079632675     		φ = 0.33224360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51129497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.295044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33224360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.036156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76202 KachelY 58474 0.51129497 0.33224360 29.295044 19.036156
    Oben rechts KachelX + 1 76203 KachelY 58474 0.51134291 0.33224360 29.297791 19.036156
    Unten links KachelX 76202 KachelY + 1 58475 0.51129497 0.33219829 29.295044 19.033560
    Unten rechts KachelX + 1 76203 KachelY + 1 58475 0.51134291 0.33219829 29.297791 19.033560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33224360-0.33219829) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dl = 288.670009999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33224360-0.33219829) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dr = 288.670009999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51129497-0.51134291) × cos(0.33224360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945312940134773 × 6371000     		do = 288.722904272049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51129497-0.51134291) × cos(0.33219829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945327717689302 × 6371000     		du = 288.727417717577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33224360)-sin(0.33219829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945312940134773-0.945327717689302)×R²
    abs(0.51134291-0.51129497)×1.47775545299433e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47775545299433e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47775545299433e-05×40589641000000     		ar = 83346.2951258174m²