Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76201 / 59887
↖ ↑ ↗
← N 15.329221°
E 29.292297°		 ← 294.56 m → N 15.329221°
E 29.295044°		 →
↑
294.53 m
↓
↑
294.53 m
↓
N 15.326572°
E 29.292297°		 ← 294.56 m →
86 758 m²		 N 15.326572°
E 29.295044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581371307373047 y=0.456905364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581371307373047 × 217)
    floor (0.581371307373047 × 131072)
    floor (76201.5)     		tx = 76201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456905364990234 × 217)
    floor (0.456905364990234 × 131072)
    floor (59887.5)     		ty = 59887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76201 / 59887 ti = "17/76201/59887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76201/59887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76201 ÷ 217
    76201 ÷ 131072     		x = 0.581367492675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59887 ÷ 217
    59887 ÷ 131072     		y = 0.456901550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581367492675781 × 2 - 1) × π
    0.162734985351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51124703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456901550292969 × 2 - 1) × π
    0.0861968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.270795545953697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51124703} λ = 0.51124703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270795545953697))-π/2
    2×atan(1.31100700229537)-π/2
    2×0.91917084974676-π/2
    1.83834169949352-1.57079632675     		φ = 0.26754537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51124703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.292297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26754537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.329221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76201 KachelY 59887 0.51124703 0.26754537 29.292297 15.329221
    Oben rechts KachelX + 1 76202 KachelY 59887 0.51129497 0.26754537 29.295044 15.329221
    Unten links KachelX 76201 KachelY + 1 59888 0.51124703 0.26749914 29.292297 15.326572
    Unten rechts KachelX + 1 76202 KachelY + 1 59888 0.51129497 0.26749914 29.295044 15.326572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26754537-0.26749914) × R
    4.62299999999805e-05 × 6371000     		dl = 294.531329999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26754537-0.26749914) × R
    4.62299999999805e-05 × 6371000     		dr = 294.531329999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51124703-0.51129497) × cos(0.26754537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964422719236042 × 6371000     		do = 294.559522695287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51124703-0.51129497) × cos(0.26749914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964434939796374 × 6371000     		du = 294.56325516897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26754537)-sin(0.26749914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964422719236042-0.964434939796374)×R²
    abs(0.51129497-0.51124703)×1.22205603316772e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.22205603316772e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.22205603316772e-05×40589641000000     		ar = 86757.557664272m²