Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76200 / 54570
↖ ↑ ↗
← N 28.820612°
E 29.289551°		 ← 267.54 m → N 28.820612°
E 29.292297°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
N 28.818207°
E 29.289551°		 ← 267.54 m →
71 572 m²		 N 28.818207°
E 29.292297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581363677978516 y=0.416339874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581363677978516 × 217)
    floor (0.581363677978516 × 131072)
    floor (76200.5)     		tx = 76200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416339874267578 × 217)
    floor (0.416339874267578 × 131072)
    floor (54570.5)     		ty = 54570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76200 / 54570 ti = "17/76200/54570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76200/54570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76200 ÷ 217
    76200 ÷ 131072     		x = 0.58135986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54570 ÷ 217
    54570 ÷ 131072     		y = 0.416336059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58135986328125 × 2 - 1) × π
    0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416336059570312 × 2 - 1) × π
    0.167327880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.525676041233536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51119910} λ = 0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525676041233536))-π/2
    2×atan(1.69160205464794)-π/2
    2×1.03690545578331-π/2
    2.07381091156662-1.57079632675     		φ = 0.50301458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50301458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.820612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76200 KachelY 54570 0.51119910 0.50301458 29.289551 28.820612
    Oben rechts KachelX + 1 76201 KachelY 54570 0.51124703 0.50301458 29.292297 28.820612
    Unten links KachelX 76200 KachelY + 1 54571 0.51119910 0.50297259 29.289551 28.818207
    Unten rechts KachelX + 1 76201 KachelY + 1 54571 0.51124703 0.50297259 29.292297 28.818207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50301458-0.50297259) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dl = 267.518289999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50301458-0.50297259) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dr = 267.518289999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51119910-0.51124703) × cos(0.50301458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876133309841983 × 6371000     		do = 267.537846044131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51119910-0.51124703) × cos(0.50297259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.876153551142664 × 6371000     		du = 267.544026968797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50301458)-sin(0.50297259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876133309841983-0.876153551142664)×R²
    abs(0.51124703-0.51119910)×2.02413006815672e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02413006815672e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02413006815672e-05×40589641000000     		ar = 71572.0938496015m²