Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7620 / 7492
↖ ↑ ↗
← N 69.395783°
W 96.284180°		 ← 429.89 m → N 69.395783°
W 96.273194°		 →
↑
429.92 m
↓
↑
429.92 m
↓
N 69.391917°
W 96.284180°		 ← 429.96 m →
184 831 m²		 N 69.391917°
W 96.273194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232559204101562 y=0.228652954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232559204101562 × 215)
    floor (0.232559204101562 × 32768)
    floor (7620.5)     		tx = 7620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228652954101562 × 215)
    floor (0.228652954101562 × 32768)
    floor (7492.5)     		ty = 7492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7620 / 7492 ti = "15/7620/7492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7620/7492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7620 ÷ 215
    7620 ÷ 32768     		x = 0.2325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7492 ÷ 215
    7492 ÷ 32768     		y = 0.2286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2325439453125 × 2 - 1) × π
    -0.534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.68047595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2286376953125 × 2 - 1) × π
    0.542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70501964568616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68047595} λ = -1.68047595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70501964568616))-π/2
    2×atan(5.50149374676939)-π/2
    2×1.39099061433574-π/2
    2.78198122867148-1.57079632675     		φ = 1.21118490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68047595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21118490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.395783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7620 KachelY 7492 -1.68047595 1.21118490 -96.284180 69.395783
    Oben rechts KachelX + 1 7621 KachelY 7492 -1.68028421 1.21118490 -96.273194 69.395783
    Unten links KachelX 7620 KachelY + 1 7493 -1.68047595 1.21111742 -96.284180 69.391917
    Unten rechts KachelX + 1 7621 KachelY + 1 7493 -1.68028421 1.21111742 -96.273194 69.391917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21118490-1.21111742) × R
    6.74800000000086e-05 × 6371000     		dl = 429.915080000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21118490-1.21111742) × R
    6.74800000000086e-05 × 6371000     		dr = 429.915080000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68047595--1.68028421) × cos(1.21118490) × R
    0.000191739999999996 × 0.351910542261028 × 6371000     		do = 429.885310694199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68047595--1.68028421) × cos(1.21111742) × R
    0.000191739999999996 × 0.351973705009607 × 6371000     		du = 429.962468762902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21118490)-sin(1.21111742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351910542261028-0.351973705009607)×R²
    abs(-1.68028421--1.68047595)×6.31627485790376e-05×R²
    0.000191739999999996×6.31627485790376e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.31627485790376e-05×40589641000000     		ar = 184830.763517046m²