Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7620 / 5062
↖ ↑ ↗
← N 56.486762°
W 12.568359°		 ← 1 348.97 m → N 56.486762°
W 12.546387°		 →
↑
1 349.25 m
↓
↑
1 349.25 m
↓
N 56.474628°
W 12.568359°		 ← 1 349.40 m →
1 820 391 m²		 N 56.474628°
W 12.546387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465118408203125 y=0.308990478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465118408203125 × 214)
    floor (0.465118408203125 × 16384)
    floor (7620.5)     		tx = 7620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308990478515625 × 214)
    floor (0.308990478515625 × 16384)
    floor (5062.5)     		ty = 5062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7620 / 5062 ti = "14/7620/5062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7620/5062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7620 ÷ 214
    7620 ÷ 16384     		x = 0.465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5062 ÷ 214
    5062 ÷ 16384     		y = 0.3089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3089599609375 × 2 - 1) × π
    0.382080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20033996648621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21935925} λ = -0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20033996648621))-π/2
    2×atan(3.32124584310724)-π/2
    2×1.27833815157326-π/2
    2.55667630314652-1.57079632675     		φ = 0.98587998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98587998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.486762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7620 KachelY 5062 -0.21935925 0.98587998 -12.568359 56.486762
    Oben rechts KachelX + 1 7621 KachelY 5062 -0.21897576 0.98587998 -12.546387 56.486762
    Unten links KachelX 7620 KachelY + 1 5063 -0.21935925 0.98566820 -12.568359 56.474628
    Unten rechts KachelX + 1 7621 KachelY + 1 5063 -0.21897576 0.98566820 -12.546387 56.474628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98587998-0.98566820) × R
    0.000211779999999995 × 6371000     		dl = 1349.25037999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98587998-0.98566820) × R
    0.000211779999999995 × 6371000     		dr = 1349.25037999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21935925--0.21897576) × cos(0.98587998) × R
    0.000383490000000014 × 0.552129637710084 × 6371000     		do = 1348.97129685067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21935925--0.21897576) × cos(0.98566820) × R
    0.000383490000000014 × 0.552306198654783 × 6371000     		du = 1349.40267316209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98587998)-sin(0.98566820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552129637710084-0.552306198654783)×R²
    abs(-0.21897576--0.21935925)×0.000176560944698312×R²
    0.000383490000000014×0.000176560944698312×6371000²
    0.000383490000000014×0.000176560944698312×40589641000000     		ar = 1820391.05901438m²