Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7620 / 5052
↖ ↑ ↗
← N 56.607885°
W 12.568359°		 ← 1 344.66 m → N 56.607885°
W 12.546387°		 →
↑
1 344.85 m
↓
↑
1 344.85 m
↓
N 56.595791°
W 12.568359°		 ← 1 345.09 m →
1 808 664 m²		 N 56.595791°
W 12.546387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465118408203125 y=0.308380126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465118408203125 × 214)
    floor (0.465118408203125 × 16384)
    floor (7620.5)     		tx = 7620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308380126953125 × 214)
    floor (0.308380126953125 × 16384)
    floor (5052.5)     		ty = 5052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7620 / 5052 ti = "14/7620/5052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7620/5052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7620 ÷ 214
    7620 ÷ 16384     		x = 0.465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5052 ÷ 214
    5052 ÷ 16384     		y = 0.308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465087890625 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21935925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308349609375 × 2 - 1) × π
    0.38330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20417491845581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21935925} λ = -0.21935925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20417491845581))-π/2
    2×atan(3.3340071151877)-π/2
    2×1.2793951553661-π/2
    2.55879031073221-1.57079632675     		φ = 0.98799398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21935925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.568359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98799398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.607885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7620 KachelY 5052 -0.21935925 0.98799398 -12.568359 56.607885
    Oben rechts KachelX + 1 7621 KachelY 5052 -0.21897576 0.98799398 -12.546387 56.607885
    Unten links KachelX 7620 KachelY + 1 5053 -0.21935925 0.98778289 -12.568359 56.595791
    Unten rechts KachelX + 1 7621 KachelY + 1 5053 -0.21897576 0.98778289 -12.546387 56.595791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98799398-0.98778289) × R
    0.00021109000000008 × 6371000     		dl = 1344.85439000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98799398-0.98778289) × R
    0.00021109000000008 × 6371000     		dr = 1344.85439000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21935925--0.21897576) × cos(0.98799398) × R
    0.000383490000000014 × 0.550365840294863 × 6371000     		do = 1344.66196091924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21935925--0.21897576) × cos(0.98778289) × R
    0.000383490000000014 × 0.55054207205744 × 6371000     		du = 1345.09253296803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98799398)-sin(0.98778289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550365840294863-0.55054207205744)×R²
    abs(-0.21897576--0.21935925)×0.00017623176257664×R²
    0.000383490000000014×0.00017623176257664×6371000²
    0.000383490000000014×0.00017623176257664×40589641000000     		ar = 1808664.07628092m²