Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 762 / 1267
↖ ↑ ↗
← S 39.232253°
W 46.054687°		 ← 15.140 km → S 39.232253°
W 45.878906°		 →
↑
15.125 km
↓
↑
15.125 km
↓
S 39.368279°
W 46.054687°		 ← 15.111 km →
228.778 km²		 S 39.368279°
W 45.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372314453125 y=0.618896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372314453125 × 211)
    floor (0.372314453125 × 2048)
    floor (762.5)     		tx = 762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618896484375 × 211)
    floor (0.618896484375 × 2048)
    floor (1267.5)     		ty = 1267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 762 / 1267 ti = "11/762/1267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/762/1267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 762 ÷ 211
    762 ÷ 2048     		x = 0.3720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1267 ÷ 211
    1267 ÷ 2048     		y = 0.61865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3720703125 × 2 - 1) × π
    -0.255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.80380593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61865234375 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.745514662891113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80380593} λ = -0.80380593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.745514662891113))-π/2
    2×atan(0.47449003467512)-π/2
    2×0.443032168256294-π/2
    0.886064336512587-1.57079632675     		φ = -0.68473199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80380593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.054687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68473199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.232253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 762 KachelY 1267 -0.80380593 -0.68473199 -46.054687 -39.232253
    Oben rechts KachelX + 1 763 KachelY 1267 -0.80073797 -0.68473199 -45.878906 -39.232253
    Unten links KachelX 762 KachelY + 1 1268 -0.80380593 -0.68710609 -46.054687 -39.368279
    Unten rechts KachelX + 1 763 KachelY + 1 1268 -0.80073797 -0.68710609 -45.878906 -39.368279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68473199--0.68710609) × R
    0.00237410000000005 × 6371000     		dl = 15125.3911000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68473199--0.68710609) × R
    0.00237410000000005 × 6371000     		dr = 15125.3911000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80380593--0.80073797) × cos(-0.68473199) × R
    0.00306795999999998 × 0.774588581970713 × 6371000     		do = 15140.0876332419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80380593--0.80073797) × cos(-0.68710609) × R
    0.00306795999999998 × 0.773084864262395 × 6371000     		du = 15110.6960072749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68473199)-sin(-0.68710609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774588581970713-0.773084864262395)×R²
    abs(-0.80073797--0.80380593)×0.00150371770831803×R²
    0.00306795999999998×0.00150371770831803×6371000²
    0.00306795999999998×0.00150371770831803×40589641000000     		ar = 228777574.278051m²