Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76199 / 59961
↖ ↑ ↗
← N 15.133113°
E 29.286804°		 ← 294.83 m → N 15.133113°
E 29.289551°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.130461°
E 29.286804°		 ← 294.84 m →
86 932 m²		 N 15.130461°
E 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581356048583984 y=0.457469940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581356048583984 × 217)
    floor (0.581356048583984 × 131072)
    floor (76199.5)     		tx = 76199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457469940185547 × 217)
    floor (0.457469940185547 × 131072)
    floor (59961.5)     		ty = 59961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76199 / 59961 ti = "17/76199/59961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76199/59961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76199 ÷ 217
    76199 ÷ 131072     		x = 0.581352233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59961 ÷ 217
    59961 ÷ 131072     		y = 0.457466125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581352233886719 × 2 - 1) × π
    0.162704467773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51115116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457466125488281 × 2 - 1) × π
    0.0850677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.267248215381813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51115116} λ = 0.51115116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267248215381813))-π/2
    2×atan(1.30636466589518)-π/2
    2×0.917459487665498-π/2
    1.834918975331-1.57079632675     		φ = 0.26412265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51115116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.286804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26412265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.133113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76199 KachelY 59961 0.51115116 0.26412265 29.286804 15.133113
    Oben rechts KachelX + 1 76200 KachelY 59961 0.51119910 0.26412265 29.289551 15.133113
    Unten links KachelX 76199 KachelY + 1 59962 0.51115116 0.26407637 29.286804 15.130461
    Unten rechts KachelX + 1 76200 KachelY + 1 59962 0.51119910 0.26407637 29.289551 15.130461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26412265-0.26407637) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dl = 294.849880000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26412265-0.26407637) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dr = 294.849880000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51115116-0.51119910) × cos(0.26412265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965321915511676 × 6371000     		do = 294.834160383178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51115116-0.51119910) × cos(0.26407637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965333996447778 × 6371000     		du = 294.837850212027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26412265)-sin(0.26407637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965321915511676-0.965333996447778)×R²
    abs(0.51119910-0.51115116)×1.20809361013885e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20809361013885e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20809361013885e-05×40589641000000     		ar = 86932.3607972042m²