Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76199 / 54571
↖ ↑ ↗
← N 28.818207°
E 29.286804°		 ← 267.60 m → N 28.818207°
E 29.289551°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
N 28.815800°
E 29.286804°		 ← 267.61 m →
71 623 m²		 N 28.815800°
E 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581356048583984 y=0.416347503662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581356048583984 × 217)
    floor (0.581356048583984 × 131072)
    floor (76199.5)     		tx = 76199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416347503662109 × 217)
    floor (0.416347503662109 × 131072)
    floor (54571.5)     		ty = 54571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76199 / 54571 ti = "17/76199/54571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76199/54571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76199 ÷ 217
    76199 ÷ 131072     		x = 0.581352233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54571 ÷ 217
    54571 ÷ 131072     		y = 0.416343688964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581352233886719 × 2 - 1) × π
    0.162704467773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51115116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416343688964844 × 2 - 1) × π
    0.167312622070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.525628104333916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51115116} λ = 0.51115116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525628104333916))-π/2
    2×atan(1.69152096643362)-π/2
    2×1.03688445598347-π/2
    2.07376891196693-1.57079632675     		φ = 0.50297259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51115116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.286804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50297259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.818207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76199 KachelY 54571 0.51115116 0.50297259 29.286804 28.818207
    Oben rechts KachelX + 1 76200 KachelY 54571 0.51119910 0.50297259 29.289551 28.818207
    Unten links KachelX 76199 KachelY + 1 54572 0.51115116 0.50293058 29.286804 28.815800
    Unten rechts KachelX + 1 76200 KachelY + 1 54572 0.51119910 0.50293058 29.289551 28.815800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50297259-0.50293058) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dl = 267.645710000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50297259-0.50293058) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dr = 267.645710000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51115116-0.51119910) × cos(0.50297259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876153551142664 × 6371000     		do = 267.599846711201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51115116-0.51119910) × cos(0.50293058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876173800538453 × 6371000     		du = 267.606031397894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50297259)-sin(0.50293058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876153551142664-0.876173800538453)×R²
    abs(0.51119910-0.51115116)×2.02493957887073e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02493957887073e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02493957887073e-05×40589641000000     		ar = 71622.778631885m²