Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7619 / 5064
↖ ↑ ↗
← N 56.462490°
W 12.590332°		 ← 1 349.87 m → N 56.462490°
W 12.568359°		 →
↑
1 350.08 m
↓
↑
1 350.08 m
↓
N 56.450349°
W 12.590332°		 ← 1 350.30 m →
1 822 721 m²		 N 56.450349°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465057373046875 y=0.309112548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465057373046875 × 214)
    floor (0.465057373046875 × 16384)
    floor (7619.5)     		tx = 7619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309112548828125 × 214)
    floor (0.309112548828125 × 16384)
    floor (5064.5)     		ty = 5064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7619 / 5064 ti = "14/7619/5064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7619/5064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7619 ÷ 214
    7619 ÷ 16384     		x = 0.46502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5064 ÷ 214
    5064 ÷ 16384     		y = 0.30908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.0699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21974275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30908203125 × 2 - 1) × π
    0.3818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19957297609229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21974275} λ = -0.21974275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19957297609229))-π/2
    2×atan(3.31869945610174)-π/2
    2×1.2781263447979-π/2
    2.5562526895958-1.57079632675     		φ = 0.98545636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21974275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.590332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98545636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.462490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7619 KachelY 5064 -0.21974275 0.98545636 -12.590332 56.462490
    Oben rechts KachelX + 1 7620 KachelY 5064 -0.21935925 0.98545636 -12.568359 56.462490
    Unten links KachelX 7619 KachelY + 1 5065 -0.21974275 0.98524445 -12.590332 56.450349
    Unten rechts KachelX + 1 7620 KachelY + 1 5065 -0.21935925 0.98524445 -12.568359 56.450349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98545636-0.98524445) × R
    0.000211909999999982 × 6371000     		dl = 1350.07860999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98545636-0.98524445) × R
    0.000211909999999982 × 6371000     		dr = 1350.07860999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21974275--0.21935925) × cos(0.98545636) × R
    0.000383499999999981 × 0.552482784839583 × 6371000     		do = 1349.86930981861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21974275--0.21935925) × cos(0.98524445) × R
    0.000383499999999981 × 0.55265940456957 × 6371000     		du = 1350.30084100757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98545636)-sin(0.98524445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552482784839583-0.55265940456957)×R²
    abs(-0.21935925--0.21974275)×0.000176619729986838×R²
    0.000383499999999981×0.000176619729986838×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176619729986838×40589641000000     		ar = 1822720.98881634m²