Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7619 / 4247
↖ ↑ ↗
← N 65.155349°
W 12.590332°		 ← 1 026.57 m → N 65.155349°
W 12.568359°		 →
↑
1 026.75 m
↓
↑
1 026.75 m
↓
N 65.146115°
W 12.590332°		 ← 1 026.92 m →
1 054 211 m²		 N 65.146115°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465057373046875 y=0.259246826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465057373046875 × 214)
    floor (0.465057373046875 × 16384)
    floor (7619.5)     		tx = 7619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259246826171875 × 214)
    floor (0.259246826171875 × 16384)
    floor (4247.5)     		ty = 4247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7619 / 4247 ti = "14/7619/4247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7619/4247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7619 ÷ 214
    7619 ÷ 16384     		x = 0.46502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4247 ÷ 214
    4247 ÷ 16384     		y = 0.25921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.0699462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21974275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25921630859375 × 2 - 1) × π
    0.4815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51288855200897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21974275} λ = -0.21974275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51288855200897))-π/2
    2×atan(4.53982539475663)-π/2
    2×1.35398584145022-π/2
    2.70797168290045-1.57079632675     		φ = 1.13717536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21974275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.590332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13717536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.155349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7619 KachelY 4247 -0.21974275 1.13717536 -12.590332 65.155349
    Oben rechts KachelX + 1 7620 KachelY 4247 -0.21935925 1.13717536 -12.568359 65.155349
    Unten links KachelX 7619 KachelY + 1 4248 -0.21974275 1.13701420 -12.590332 65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 7620 KachelY + 1 4248 -0.21935925 1.13701420 -12.568359 65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13717536-1.13701420) × R
    0.000161159999999994 × 6371000     		dl = 1026.75035999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13717536-1.13701420) × R
    0.000161159999999994 × 6371000     		dr = 1026.75035999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21974275--0.21935925) × cos(1.13717536) × R
    0.000383499999999981 × 0.420159397157108 × 6371000     		do = 1026.56642164687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21974275--0.21935925) × cos(1.13701420) × R
    0.000383499999999981 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 1026.9237248291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13717536)-sin(1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420159397157108-0.420305636393538)×R²
    abs(-0.21935925--0.21974275)×0.000146239236430479×R²
    0.000383499999999981×0.000146239236430479×6371000²
    0.000383499999999981×0.000146239236430479×40589641000000     		ar = 1054210.8758557m²