Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7619 / 1786
↖ ↑ ↗
← N 70.699951°
E154.819336°		 ← 1 615.06 m → N 70.699951°
E154.863281°		 →
↑
1 615.62 m
↓
↑
1 615.62 m
↓
N 70.685422°
E154.819336°		 ← 1 616.23 m →
2 610 271 m²		 N 70.685422°
E154.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.93011474609375 y=0.21807861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.93011474609375 × 213)
    floor (0.93011474609375 × 8192)
    floor (7619.5)     		tx = 7619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21807861328125 × 213)
    floor (0.21807861328125 × 8192)
    floor (1786.5)     		ty = 1786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7619 / 1786 ti = "13/7619/1786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7619/1786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7619 ÷ 213
    7619 ÷ 8192     		x = 0.9300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1786 ÷ 213
    1786 ÷ 8192     		y = 0.218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9300537109375 × 2 - 1) × π
    0.860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70210716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218017578125 × 2 - 1) × π
    0.56396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77174780995728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70210716} λ = 2.70210716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77174780995728))-π/2
    2×atan(5.88112346982977)-π/2
    2×1.40237162893275-π/2
    2.80474325786551-1.57079632675     		φ = 1.23394693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70210716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 154.819336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23394693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.699951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7619 KachelY 1786 2.70210716 1.23394693 154.819336 70.699951
    Oben rechts KachelX + 1 7620 KachelY 1786 2.70287415 1.23394693 154.863281 70.699951
    Unten links KachelX 7619 KachelY + 1 1787 2.70210716 1.23369334 154.819336 70.685422
    Unten rechts KachelX + 1 7620 KachelY + 1 1787 2.70287415 1.23369334 154.863281 70.685422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23394693-1.23369334) × R
    0.000253590000000026 × 6371000     		dl = 1615.62189000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23394693-1.23369334) × R
    0.000253590000000026 × 6371000     		dr = 1615.62189000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70210716-2.70287415) × cos(1.23394693) × R
    0.000766989999999801 × 0.330515196038713 × 6371000     		do = 1615.06028768578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70210716-2.70287415) × cos(1.23369334) × R
    0.000766989999999801 × 0.330754523820752 × 6371000     		du = 1616.22976128683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23394693)-sin(1.23369334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330515196038713-0.330754523820752)×R²
    abs(2.70287415-2.70210716)×0.000239327782039556×R²
    0.000766989999999801×0.000239327782039556×6371000²
    0.000766989999999801×0.000239327782039556×40589641000000     		ar = 2610271.48201673m²