Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76189 / 58523
↖ ↑ ↗
← N 18.908885°
E 29.259338°		 ← 288.94 m → N 18.908885°
E 29.262085°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.906287°
E 29.259338°		 ← 288.95 m →
83 484 m²		 N 18.906287°
E 29.262085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581279754638672 y=0.446498870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581279754638672 × 217)
    floor (0.581279754638672 × 131072)
    floor (76189.5)     		tx = 76189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446498870849609 × 217)
    floor (0.446498870849609 × 131072)
    floor (58523.5)     		ty = 58523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76189 / 58523 ti = "17/76189/58523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76189/58523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76189 ÷ 217
    76189 ÷ 131072     		x = 0.581275939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58523 ÷ 217
    58523 ÷ 131072     		y = 0.446495056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581275939941406 × 2 - 1) × π
    0.162551879882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51067179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446495056152344 × 2 - 1) × π
    0.107009887695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.336181477035454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51067179} λ = 0.51067179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336181477035454))-π/2
    2×atan(1.399592995753)-π/2
    2×0.950409312903745-π/2
    1.90081862580749-1.57079632675     		φ = 0.33002230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51067179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.259338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33002230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.908885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76189 KachelY 58523 0.51067179 0.33002230 29.259338 18.908885
    Oben rechts KachelX + 1 76190 KachelY 58523 0.51071973 0.33002230 29.262085 18.908885
    Unten links KachelX 76189 KachelY + 1 58524 0.51067179 0.32997695 29.259338 18.906287
    Unten rechts KachelX + 1 76190 KachelY + 1 58524 0.51071973 0.32997695 29.262085 18.906287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33002230-0.32997695) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33002230-0.32997695) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51067179-0.51071973) × cos(0.33002230) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.946035117133626 × 6371000     		do = 288.943475717004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51067179-0.51071973) × cos(0.32997695) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.946049812468873 × 6371000     		du = 288.947964050647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33002230)-sin(0.32997695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946035117133626-0.946049812468873)×R²
    abs(0.51071973-0.51067179)×1.4695335247783e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.4695335247783e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.4695335247783e-05×40589641000000     		ar = 83483.5987898625m²