Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76189 / 58518
↖ ↑ ↗
← N 18.921876°
E 29.259338°		 ← 288.92 m → N 18.921876°
E 29.262085°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.919278°
E 29.259338°		 ← 288.93 m →
83 477 m²		 N 18.919278°
E 29.262085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581279754638672 y=0.446460723876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581279754638672 × 217)
    floor (0.581279754638672 × 131072)
    floor (76189.5)     		tx = 76189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446460723876953 × 217)
    floor (0.446460723876953 × 131072)
    floor (58518.5)     		ty = 58518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76189 / 58518 ti = "17/76189/58518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76189/58518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76189 ÷ 217
    76189 ÷ 131072     		x = 0.581275939941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58518 ÷ 217
    58518 ÷ 131072     		y = 0.446456909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581275939941406 × 2 - 1) × π
    0.162551879882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51067179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446456909179688 × 2 - 1) × π
    0.107086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.336421161533554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51067179} λ = 0.51067179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336421161533554))-π/2
    2×atan(1.39992849670331)-π/2
    2×0.950522683475948-π/2
    1.9010453669519-1.57079632675     		φ = 0.33024904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51067179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.259338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33024904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.921876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76189 KachelY 58518 0.51067179 0.33024904 29.259338 18.921876
    Oben rechts KachelX + 1 76190 KachelY 58518 0.51071973 0.33024904 29.262085 18.921876
    Unten links KachelX 76189 KachelY + 1 58519 0.51067179 0.33020369 29.259338 18.919278
    Unten rechts KachelX + 1 76190 KachelY + 1 58519 0.51071973 0.33020369 29.262085 18.919278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33024904-0.33020369) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33024904-0.33020369) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51067179-0.51071973) × cos(0.33024904) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945961614516221 × 6371000     		do = 288.921026125691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51067179-0.51071973) × cos(0.33020369) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945976319578923 × 6371000     		du = 288.925517430349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33024904)-sin(0.33020369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945961614516221-0.945976319578923)×R²
    abs(0.51071973-0.51067179)×1.47050627020695e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.47050627020695e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.47050627020695e-05×40589641000000     		ar = 83477.1129742958m²