Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76188 / 58492
↖ ↑ ↗
← N 18.989415°
E 29.256592°		 ← 288.80 m → N 18.989415°
E 29.259338°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
N 18.986818°
E 29.256592°		 ← 288.81 m →
83 407 m²		 N 18.986818°
E 29.259338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581272125244141 y=0.446262359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581272125244141 × 217)
    floor (0.581272125244141 × 131072)
    floor (76188.5)     		tx = 76188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446262359619141 × 217)
    floor (0.446262359619141 × 131072)
    floor (58492.5)     		ty = 58492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76188 / 58492 ti = "17/76188/58492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76188/58492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76188 ÷ 217
    76188 ÷ 131072     		x = 0.581268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58492 ÷ 217
    58492 ÷ 131072     		y = 0.446258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581268310546875 × 2 - 1) × π
    0.16253662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51062385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446258544921875 × 2 - 1) × π
    0.10748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.337667520923676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51062385} λ = 0.51062385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337667520923676))-π/2
    2×atan(1.40167439851523)-π/2
    2×0.951112068296679-π/2
    1.90222413659336-1.57079632675     		φ = 0.33142781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51062385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.256592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33142781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.989415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76188 KachelY 58492 0.51062385 0.33142781 29.256592 18.989415
    Oben rechts KachelX + 1 76189 KachelY 58492 0.51067179 0.33142781 29.259338 18.989415
    Unten links KachelX 76188 KachelY + 1 58493 0.51062385 0.33138248 29.256592 18.986818
    Unten rechts KachelX + 1 76189 KachelY + 1 58493 0.51067179 0.33138248 29.259338 18.986818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33142781-0.33138248) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33142781-0.33138248) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51062385-0.51067179) × cos(0.33142781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94557870748884 × 6371000     		do = 288.804076462833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51062385-0.51067179) × cos(0.33138248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945593456603173 × 6371000     		du = 288.808581221993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33142781)-sin(0.33138248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94557870748884-0.945593456603173)×R²
    abs(0.51067179-0.51062385)×1.47491143328571e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47491143328571e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47491143328571e-05×40589641000000     		ar = 83406.5255517737m²