Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76187 / 59970
↖ ↑ ↗
← N 15.109249°
E 29.253845°		 ← 294.81 m → N 15.109249°
E 29.256592°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.106598°
E 29.253845°		 ← 294.81 m →
86 924 m²		 N 15.106598°
E 29.256592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581264495849609 y=0.457538604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581264495849609 × 217)
    floor (0.581264495849609 × 131072)
    floor (76187.5)     		tx = 76187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457538604736328 × 217)
    floor (0.457538604736328 × 131072)
    floor (59970.5)     		ty = 59970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76187 / 59970 ti = "17/76187/59970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76187/59970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76187 ÷ 217
    76187 ÷ 131072     		x = 0.581260681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59970 ÷ 217
    59970 ÷ 131072     		y = 0.457534790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581260681152344 × 2 - 1) × π
    0.162521362304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51057592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457534790039062 × 2 - 1) × π
    0.084930419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266816783285233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51057592} λ = 0.51057592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266816783285233))-π/2
    2×atan(1.30580117981021)-π/2
    2×0.917251240515201-π/2
    1.8345024810304-1.57079632675     		φ = 0.26370615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51057592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.253845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26370615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.109249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76187 KachelY 59970 0.51057592 0.26370615 29.253845 15.109249
    Oben rechts KachelX + 1 76188 KachelY 59970 0.51062385 0.26370615 29.256592 15.109249
    Unten links KachelX 76187 KachelY + 1 59971 0.51057592 0.26365987 29.253845 15.106598
    Unten rechts KachelX + 1 76188 KachelY + 1 59971 0.51062385 0.26365987 29.256592 15.106598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26370615-0.26365987) × R
    4.62799999999541e-05 × 6371000     		dl = 294.849879999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26370615-0.26365987) × R
    4.62799999999541e-05 × 6371000     		dr = 294.849879999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51057592-0.51062385) × cos(0.26370615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965430564287991 × 6371000     		do = 294.805836935207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51057592-0.51062385) × cos(0.26365987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.96544262661575 × 6371000     		du = 294.809520312098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26370615)-sin(0.26365987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965430564287991-0.96544262661575)×R²
    abs(0.51062385-0.51057592)×1.20623277592991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.20623277592991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.20623277592991e-05×40589641000000     		ar = 86924.0086807644m²