Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76184 / 61786
↖ ↑ ↗
← N 10.244654°
E 29.245606°		 ← 300.49 m → N 10.244654°
E 29.248352°		 →
↑
300.52 m
↓
↑
300.52 m
↓
N 10.241952°
E 29.245606°		 ← 300.50 m →
90 305 m²		 N 10.241952°
E 29.248352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581241607666016 y=0.471393585205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581241607666016 × 217)
    floor (0.581241607666016 × 131072)
    floor (76184.5)     		tx = 76184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471393585205078 × 217)
    floor (0.471393585205078 × 131072)
    floor (61786.5)     		ty = 61786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76184 / 61786 ti = "17/76184/61786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76184/61786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76184 ÷ 217
    76184 ÷ 131072     		x = 0.58123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61786 ÷ 217
    61786 ÷ 131072     		y = 0.471389770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58123779296875 × 2 - 1) × π
    0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471389770507812 × 2 - 1) × π
    0.057220458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.179763373575211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51043211} λ = 0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.179763373575211))-π/2
    2×atan(1.19693410337217)-π/2
    2×0.874799638794074-π/2
    1.74959927758815-1.57079632675     		φ = 0.17880295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17880295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.244654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76184 KachelY 61786 0.51043211 0.17880295 29.245606 10.244654
    Oben rechts KachelX + 1 76185 KachelY 61786 0.51048004 0.17880295 29.248352 10.244654
    Unten links KachelX 76184 KachelY + 1 61787 0.51043211 0.17875578 29.245606 10.241952
    Unten rechts KachelX + 1 76185 KachelY + 1 61787 0.51048004 0.17875578 29.248352 10.241952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17880295-0.17875578) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dl = 300.520069999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17880295-0.17875578) × R
    4.71699999999853e-05 × 6371000     		dr = 300.520069999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51043211-0.51048004) × cos(0.17880295) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.984057295198961 × 6371000     		do = 300.493733298448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51043211-0.51048004) × cos(0.17875578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.984065683370546 × 6371000     		du = 300.496294727551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17880295)-sin(0.17875578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984057295198961-0.984065683370546)×R²
    abs(0.51048004-0.51043211)×8.3881715851053e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.3881715851053e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.3881715851053e-06×40589641000000     		ar = 90304.7826625279m²