Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76184 / 59976
↖ ↑ ↗
← N 15.093340°
E 29.245606°		 ← 294.83 m → N 15.093340°
E 29.248352°		 →
↑
294.91 m
↓
↑
294.91 m
↓
N 15.090687°
E 29.245606°		 ← 294.83 m →
86 949 m²		 N 15.090687°
E 29.248352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581241607666016 y=0.457584381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581241607666016 × 217)
    floor (0.581241607666016 × 131072)
    floor (76184.5)     		tx = 76184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457584381103516 × 217)
    floor (0.457584381103516 × 131072)
    floor (59976.5)     		ty = 59976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76184 / 59976 ti = "17/76184/59976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76184/59976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76184 ÷ 217
    76184 ÷ 131072     		x = 0.58123779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59976 ÷ 217
    59976 ÷ 131072     		y = 0.45758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58123779296875 × 2 - 1) × π
    0.1624755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51043211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45758056640625 × 2 - 1) × π
    0.0848388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266529161887512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51043211} λ = 0.51043211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266529161887512))-π/2
    2×atan(1.30542565745645)-π/2
    2×0.91711239606837-π/2
    1.83422479213674-1.57079632675     		φ = 0.26342847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51043211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.245606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26342847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.093340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76184 KachelY 59976 0.51043211 0.26342847 29.245606 15.093340
    Oben rechts KachelX + 1 76185 KachelY 59976 0.51048004 0.26342847 29.248352 15.093340
    Unten links KachelX 76184 KachelY + 1 59977 0.51043211 0.26338218 29.245606 15.090687
    Unten rechts KachelX + 1 76185 KachelY + 1 59977 0.51048004 0.26338218 29.248352 15.090687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26342847-0.26338218) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dl = 294.913590000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26342847-0.26338218) × R
    4.62900000000044e-05 × 6371000     		dr = 294.913590000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51043211-0.51048004) × cos(0.26342847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965502907236698 × 6371000     		do = 294.82792772488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51043211-0.51048004) × cos(0.26338218) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.965514959760614 × 6371000     		du = 294.83160810805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26342847)-sin(0.26338218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965502907236698-0.965514959760614)×R²
    abs(0.51048004-0.51043211)×1.20525239152292e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.20525239152292e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.20525239152292e-05×40589641000000     		ar = 86949.305310633m²