Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76183 / 59977
↖ ↑ ↗
← N 15.090687°
E 29.242859°		 ← 294.89 m → N 15.090687°
E 29.245606°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.088036°
E 29.242859°		 ← 294.90 m →
86 950 m²		 N 15.088036°
E 29.245606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581233978271484 y=0.457592010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581233978271484 × 217)
    floor (0.581233978271484 × 131072)
    floor (76183.5)     		tx = 76183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457592010498047 × 217)
    floor (0.457592010498047 × 131072)
    floor (59977.5)     		ty = 59977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76183 / 59977 ti = "17/76183/59977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76183/59977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76183 ÷ 217
    76183 ÷ 131072     		x = 0.581230163574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59977 ÷ 217
    59977 ÷ 131072     		y = 0.457588195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581230163574219 × 2 - 1) × π
    0.162460327148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51038417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457588195800781 × 2 - 1) × π
    0.0848236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.266481224987892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51038417} λ = 0.51038417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266481224987892))-π/2
    2×atan(1.30536308089762)-π/2
    2×0.917089254315944-π/2
    1.83417850863189-1.57079632675     		φ = 0.26338218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51038417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.242859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26338218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.090687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76183 KachelY 59977 0.51038417 0.26338218 29.242859 15.090687
    Oben rechts KachelX + 1 76184 KachelY 59977 0.51043211 0.26338218 29.245606 15.090687
    Unten links KachelX 76183 KachelY + 1 59978 0.51038417 0.26333590 29.242859 15.088036
    Unten rechts KachelX + 1 76184 KachelY + 1 59978 0.51043211 0.26333590 29.245606 15.088036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26338218-0.26333590) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dl = 294.849880000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26338218-0.26333590) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dr = 294.849880000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51038417-0.51043211) × cos(0.26338218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965514959760614 × 6371000     		do = 294.893121065762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51038417-0.51043211) × cos(0.26333590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965527007612629 × 6371000     		du = 294.89680078988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26338218)-sin(0.26333590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965514959760614-0.965527007612629)×R²
    abs(0.51043211-0.51038417)×1.20478520155842e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20478520155842e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20478520155842e-05×40589641000000     		ar = 86949.743857648m²